无穷大,小及极限运算

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1、无穷小量，无穷大量及极限的运算当一、无穷小量定义1.若时,函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当时为无穷小.则称函数时的无穷小量.为注意:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为显然C只能是0!C时,函数(或)则称函数为定义1.若(或)则时的无穷小.2.无穷小不是很小的数,无穷小量是一个变量3、无穷小量是对自变量的某个变化过程说的。1.零是无穷小判断下列函数在是不是无穷小量判断下列函数在是不是无穷小量二、无穷大量时,函数(或)则称函数为定义2.若(或)则的无穷大量理解：包含和两种情况。注意:1.无穷大不是很大的数,无穷大

2、量是一个变量2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!注意：（3）无穷大量是对自变量的某个变化过程说的。不能！三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:四、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1常数与无穷小的乘积是无穷小推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小例1.求解:利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.练习：答案：（1）（

3、4）（6）是无穷小量（2）（5）是无穷大（3）的极限值是1思考题：求下列极限答案：（1)(2)(4)都是0.（3）是无穷大内容小结无穷小量和无穷大量的概念及性质怎么判断一个量是不是无穷小量及无穷大量无穷小量和无穷大量之间的关系无穷小量的运算性质注意事项无穷小量和无穷大量都与自变量的变化过程有关的变量。三个基本的数列极限：数列极限的运算法则复习数列极限的运算法则：函数极限的四则运算运算法则(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=cli

4、mf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理如果limf(x)=Alimg(x)=B那么(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB二个基本的函数极限：求极限举例讨论提示例1解例2解解例3解例4根据无穷大与无穷小的关系得因为先用x3去除分子及分母然后取极限解先用x3去除分子及分母然后取极限例5解:例6讨论提示例7解所以解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用例8是无穷小与有界函数的乘积注意:例

5、9：求下列无理式极限解=4练习：求下列极限答案：-1，4，2，-1复合函数的极限运算法则设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则例9解392--=xxy是由uy=与392--=xxu复合而成的.思考；1.计算极限解：2.已知（a=-7,b=6)内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方

6、法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量再见！2012.02.09