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《魏雅薇复变函数论第一章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、复变函数论复变函数理论及应用背景M.Kline(《古今数学思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.南开大学魏雅薇的概念,从而建立了复变函数理论.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分
2、.(1)代数方程在实数范围内无解.J.Hadamard说:实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.函数理论证明了代数基本定理。Gauss应用复变南开大学魏雅薇(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5)应用于计算渗流问题.例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.例如：热炉中温度的计算.最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,从而研究机翼的造型问题.南开大学魏雅薇复变函数论第一部分：复变函数和解析函数第二部分：复变函数的积分第三部分：复变函
3、数的级数第四部分：留数及其应用主要内容南开大学魏雅薇第一章复数和复变函数第一章：复数与复变函数1复数，复数域3复变函数的极限，连续2平面点集南开大学魏雅薇第1节复数1复数的概念2复数的四则运算3复数的表示方法4乘幂与方根南开大学魏雅薇复数的概念由于解代数方程的需要,人们引进了复数.例如，简单的代数方程在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，引入等式由该等式所定义的数称为虚数单位南开大学魏雅薇当复数的虚部为零、实部不为零(即y=0,)时，复数x+iy等于x+i0为实数x,而虚部不为零(即)的复数称为虚数.在虚数中,实部为零(即
4、x=0,)的称为纯虚数.例如,3+0i=3是实数,4+5i,-3i都是虚数,而-3i是纯虚数.数x+iy(或x+yi)的实部和虚部,并记做称形如x+iy或x+yi的表达式为复数，其中x和y是任意两个实数.把这里的x和y分别称为复南开大学魏雅薇显然,z=x+iy是x-yi的共轭复数,即共轭复数:复数x-iy称为复数x+yi的共轭复数(其中x,y均为实数),并记做.南开大学魏雅薇复数的四则运算注意复数不能比较大小.设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果x1=x2,y1=y2,则称z1和z2相等,记为z1=z2.复数z
5、1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除运算定义如下：(1)复数的和与差南开大学魏雅薇(2)复数的积(3)复数的商复数运算的性质1.交换律南开大学魏雅薇2.结合律3.分配律南开大学魏雅薇复数域:全体复数并引进上述运算后就称为复数域，常用C表示。在复数域内，我们熟知的一切代数恒等式仍然成立，如南开大学魏雅薇解例设求与南开大学魏雅薇例……南开大学魏雅薇例 设z1,z2是两个复数,证明证明 因为所以由运算规律7，有本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明.南开大学魏雅薇给定一复数z=x+yi,在坐标平面XOY上存在惟一的点P(x
6、,y)与z=x+yi对应.反之,对XOY平面上的点P(x,y),存在惟一的复数z=x+yi与它对应.根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射.因此可以用XOY平面上的点表示复数z.这时把XOY平面平面称为复平面.有时简称为z平面.复平面与复数的表示法南开大学魏雅薇显然,实数与x轴上的点一一对应,而x轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数与y轴上的点(除原点)对应.因此,称x轴为实轴,y轴为虚轴.今后把复平面上的点和复数z不加区别,即“点z”和“复数z”是同一个意思.有时用C表示全体复数或复平面.复数z也可以用以原
7、点为起点而以点P为终点的向量表示(如图).南开大学魏雅薇这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.用表示复数z时,这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y.把向量的长度r称为复数z的模或称为z的绝对值,并记做
8、z
9、.显然南开大学魏雅薇如果点P不是原点(即),那么把x轴的正向与向量的夹角q称为复数z的辐角,记做Argz.对每个,都有无穷多个辐角,因为用q0表示复数z的一个辐角时,就是z的辐角的一般表达式.南开大学魏雅薇有时,在进行说明后,把主辐角定义为满足的方向角；但当z=0时,
10、z
11、=0.满足的复数z的辐角称为主辐角(或
12、称辐角的主值),记做argz,则的辐角,这时上式仍然成立.当z=0时,Argz没有意义,即零向量没有确定南开大学魏雅薇当时,有南开大学魏雅薇利用直角坐标与极坐标之间的关系数z的三角表示式.再利用Euler公式复数z=x+yi可表示为称为复复数z=x
