复变函数论 第一章 复数及复变函数

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1、引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是世纪人们在解代数方程时引入的．年，意大利数学物理学家（卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程的根，它求出形式的根为和，积为．但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点．直到十八世纪，（达朗贝尔）：（欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数．复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕（柯西），（魏尔斯特拉斯）和（

2、黎曼）三人的工作进行的．到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用．第一章§1复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角；掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.重点：德摩弗公式.难点：德摩弗公式.课时：2学时.1．复数域　　形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数的实部和虚部，记为，　，称为虚单位．两个复数，与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即且虚部

3、为零的复数可看作实数，即，特别地，，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记为　　或　设复数，，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定．因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，称轴为虚轴，这样表示复

4、数的平面称为复平面或平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应零向量）．从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为图1.1显然，对于任意复数均有，，另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式（三角形两边之和第三边，图1.2）图1.2（三角形两边之差第三边，图1.3）图1.3与两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向．向量

5、与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角，记为由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，并称满足条件的一个值为的主角或的主幅角，则有注意：当时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有同时我们引进著名的欧拉公式：则可化为与式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由式几指数性质即可推得复数的乘除有因此，公式与说明：两个复数，的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）．特别当时可得此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式

6、中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有公式可推广到有限个复数的情况，特别地，当时，有当时，就得到熟知的德摩弗公式：例求及用与表示的式子解：4.曲线的复数方程例连接及两点的线段的参数方程为过及两点的直线（图）的参数方程为例平面上以原点为心，为半径的圆周的方程为平面上以为心，为半径的圆周的方程为例平面上实轴的方程为，虚轴的方程为.作业:第42页2,3,4§复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理.重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1.几个基本概念定义满足不等式的所有点组成的平面点集

7、（以下简称点集）称为点的，记为．显然，即表示以为心，以为半径的圆的内部定义设为平面上的一个点集，若平面上一点的任意邻域内巨有的无穷多个点，则称为的内点．定义若的每个聚点都属于，则称为闭集．若的所有点均为内点，则称为开集定义若，，均有则称为有界集，否则称为无界集．1.区域与约当曲线定义若非空点集满足下列两个条件：为开集．中任意两点均可用全在中的折线连接起来，则称为区域.定义若为区域的聚点且不是的内点，则称为的界点，的所有界点组成的点集称为的边界，记为，若，使得，则称为的外点定义区域加上它的边界称为闭区域，记为有关区域