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1、极坐标与参数方程【考纲知识梳理】一、极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.二、参数方程3．圆的参数设M，则。圆的普通方程是，它的参数方程为：。4．椭圆的参数方程，其中参数称为离心角；5．双曲线的参数方程，其中。6．抛物线的参数方程试卷第9页，总10页抛物线的参数方程为7．直线的
2、参数方程经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为：。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。由此，易得参数t具有如下的性质：若直线上两点A、B所对应的参数分别为，则性质一：A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为性质二：A、B两点的中点所对应的参数为，若是线
3、段AB的中点，则，反之亦然。直线的参数方程的几何意义应用一、求直线上点的坐标例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程(t是参数)。解：由题意知则直线PQ的方程是，其中时间t是参数，将t=3s代入得Q（−8，12）。试卷第9页，总10页例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。解：由条件，设直线AA'的参数方程为(t是参数)，∵A到直线l的距离d=，∴t=AA'=，代入直线的参数方程得A'(−，)。点评：求点关于直
4、线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t的几何意义。二求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为,1)求直线和直线的交点到点的距离;2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.解:直线的参数方程为(t为参数)1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以=点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。三求直线与曲线相交的弦长例1过抛
5、物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求
6、AB
7、.解 因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方程为 (为参数)代入整理得由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。试卷第9页，总10页∴===.例2已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是(t为参数)即(t为参数)把它代入抛物线的方程,得解得由参数t的几何意义得，点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线
8、上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.四、求解中点问题例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得:cos,所以,直线的参数方程为(t为参数)代入,整理得中点M的相应的参数是=，所以点M的坐标为点评:在直线的参数方程中,当t>0,则的方向向上;当t<0,则的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.试卷第9页，总10
9、页例2．已知双曲线，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0，由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得。又直线P1P2的斜率，点P（2，1）在直线P1P2上，∴，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。五,求点的轨迹问题例1．已知双曲
10、线，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线
