《平面方程》PPT课件(I)

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1、§8.2内容回顾设1.向量运算点积:叉积:混合积:2.向量关系:P50题1(4)(5)为单位向量,且解(4)则三式相加得:(4)向量则(5)已知且(5)=().=().同理则原式==36.36一、平面的点法式方程二、平面的一般(式)方程三、两平面的夹角§8.5平面及其方程第八章①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量这是求平面方程的主要方法．取平面上一点和平面的一法线向量（常通过向量的叉乘积求得平面的一法向量）例1.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面

2、的方程.利用点法式得平面的方程9-1特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为二、平面的一般(式)方程设有三元一次方程以上两式相减得,此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则②的平面,因此方程②的图形是法向量为(式)方程.过已知点为平面的点法式方程:缺项平面方程的特征：•D=0,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平

3、面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.缺谁∥谁．仅谁⊥谁．例2.求通过x轴和点Ｐ(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程另解:取=(,,)01-3(B≠0)则所求平面方程为:…三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平面夹角的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.

4、

5、特别有下列结论：因此有例3.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.解:设所求平面的法向量为即的法向量约

6、去C,得即和则所求平面故方程为且例3.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.另解:取平面的法向量为则所求平面的法向量为和且2-1-1=(,,)即注:为已知平面∏的法向量.外一点,求例4.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0到平面的距离为(点到平面的距离公式)例5.解:设球心为求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式(求平面方程的主要方法)设法取得一法向量常通过向量的叉积2.平面

7、与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:作业P422,6,7,8，9备用题1求过点且垂直于二平面和的平面方程.解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得2.用参数式表示直线解:取z为参数由解得则直线的参数式方程为:(z为参数)3.证:在线段AB的一侧有一动点P,以PB,PA为边向外做正方形PBCD和PAEF,M为D,E的中点(如图).证明:(1)PM⊥AB;(2)PM=AB.ABCDPEFM设垂直屏幕向外的单位向量为所以PM⊥AB;且PM=AB.4.证明(1)任意三角形△ABC的三条中线可构成△1;

8、BCA证:(1)设△ABC三边的中点分别为D,E,F(如图)．FDE(2)△1的三条中线构成的三角形△2与△ABC相似,并求相似比．记则三条中线所以三条中线可构成三角形,记为△1(2)△1的三条中线构成的三角形△2与△ABC相似,并求相似比．(2)△1三条中线所以△2与△ABC相似,且相似比为．