《微积分发展史》PPT课件(I)

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1、微积分发展史微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。我国的微积分思想萌芽公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子•天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限

2、思想。魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”西方的微积分思想萌芽安提芬的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。之后，阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。十七世纪微积分的酝酿第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题第

3、三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”．卡瓦列里建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有

4、很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。德国天文学家、数学家开普勒的无限小元法。17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。微积分的创立牛顿的“流数术”牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小○记号表示x的无限小且最终趋于零的增量．1665年11月发明“正流数术”(微分法)，次年5月又建立了“反流数术”(积分法)．1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，

5、此文现以《流数简论》著称,是历史上第一篇系统的微积分文献.牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。莱布尼茨的微积分莱布尼茨当时还没有微积分的符号，他用语言陈述他的特征三角形导出的第一个重要结果：“由一条曲线的法线形成的图形，即将这些法线(在圆的情形就是半径)按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比”。在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉莱布尼茨通常假设曲线z通过原点

6、，这就将求积问题化成了反切线问题，即：为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率为．如果是在区间上，由上的面积减去上的面积:十八世纪微积分的发展从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作《无穷小分析》，现在通称为罗比达法则。1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定

7、理，即现在以他的名字命名的泰勒定理。后来麦克劳林重新得到泰勒公式的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林”级数。18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。这方面的贡献主要应归功于尼古拉·伯努利、欧拉和拉格朗日等数学家。微积分中注入严密性微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。18世纪的时候