《微积分英文》PPT课件(I)

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1、CHAPTER9INDETERMINATEFORMSANDIMPROPERINTEGRALS9.1IndeterminateFormsofType0/0weusearuledevelopedbyl’Hopitalin1696.Cauchy’sMeanValueTheoremLetf&gbedifferentiablefunctionson(a,b)andcontinuouson[a,b].Ifg’(x)doesnotequal0forallxin(1,b),thenthereisanumbercin(a,b)suchthat:罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间

2、[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏目录上页下页返回结束证毕柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间

3、(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西目录上页下页返回结束证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点机动目录上页下页返回结束柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束例.试证至少存在一点使证:用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:机动目录上页下页返回结束9.2OtherIndeterminateFormsL’Hopital’srulealsoholdstrueforthefollowingindeterminateforms:OtherindeterminateformsTakethelo

4、garithmandthenapplyl’Hopital’sinthefollowingcases:9.3ImproperIntegrals:InfiniteLimitsofIntegrationImproperintegrals:Ifthelimitsofintegration,aandb,areone,theother,orbothequaltoinfinity.DefinitionIfthelimitsontherightexistandhavefinitevalues,thenthecorrespondingimproperintegralsconverge

5、andhavethosevalues.Otherwise,theintegralsdiverge.无穷限的反常积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义机动目录上页下页返回结束则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现机动目录上页下页返回结束它表明该反常积分发散.引入记号则有类似牛–莱公式的计

6、算表达式:机动目录上页下页返回结束例.计算反常积分解:机动目录上页下页返回结束思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例2.证明第一类p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.机动目录上页下页返回结束无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束9.4ImproperIntegrals:InfiniteIntegrandsLetfbecontinuo

7、usonthehalf-openinterval[a,b)andsupposethatProvidedthatthislimitexistsandisfinite,inwhichcasewesayitconverges.Otherwise,itdiverges.无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束定义2.设而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义机动目录