《微积分总复习》PPT课件

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1、主要内容有：一、极限二、连续三、导数总复习四、积分www.wondershare.com极限CompanyLogo（1）两个无穷小量的代数和仍为无穷小量;（2）两个无穷小量的积仍为无穷小量；（3）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量.无穷大量的性质（1）两个无穷大量的积仍为无穷大量；（2）无穷大量与有界变量的和、差仍为无穷大量.无穷大量与无穷小量的性质不同处(1)两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量.（2）无穷大量乘有界变量不一定是无穷大量.CompanyLogo无穷小量比较记作CompanyLogo定理CompanyLogo1.极限的基本性质性质1（唯一性）性质2（局部有界性）（局部保号性)性

2、质3性质4（不等式性质）CompanyLogo结论1、多项式或分母极限不为0的有理分式，在时的极限值就是在点的函数值分母极限为0的有理分式分子极限不为0分子极限为0约去零因子结论2、结论3、CompanyLogo无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量。若分段函数在分段点处左右两侧表达式不同，求分段函数在分段点处的极限时，要利用定理：计算无限项数列和的极限，要先求和，再求极限。（夹逼定理或迫敛性）CompanyLogo定理CompanyLogo对于分段函数在分界点的连续性,一般按以下三步考察:连续CompanyLogoCompanyLogo1.3.6闭区间上连续函数的性质定理1.3.4定理1.3.

3、5定理1.3.6推论CompanyLogo导数结论:如果函数y=f(x)在点x可导,则函数在该点必连续.反之,结论不成立.CompanyLogo互为反函数的两个函数，它们的导数互为倒数。隐函数的求导取队数求导法分段函数求导法CompanyLogo复合函数的微分法则、微分形式不变性.求微分方法：CompanyLogo隐函数的微分例解法I第一步，两边求微分，第二步，解出dy，解法II先用隐函数求导法，求出再用微分公式，求出CompanyLogo中值定理二、拉格朗日中值定理(Lagrange):一、罗尔定理（Rolle):三、柯西中值定理(Cauchy)CompanyLogo注意与零点定理应用的

4、区别应用CompanyLogoCompanyLogo洛必达法则3.2.1、型未定式3.2.2、型未定式3.2.3、其它未定式CompanyLogo讨论函数单调性、极值、凸性、拐点以及渐近线的步骤：(1)确定函数的定义域;(b)以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间,(c)据表写出单调性、极值结论.(I)首先讨论单调性、极值(II)其次讨论凸性、拐点(b)以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间,(c)据表写出凸性、拐点结论.(III)最后讨论渐近线CompanyLogoCompanyLogo定积分的定义定理4.2.1(微积分学基本定理)CompanyLogo定理4.2.3牛顿-莱

5、布尼兹公式1、直接积分法：就是直接利用已有的数学结论、积分基本公式与积分的性质来计算积分的方法2、凑微分法（第一类换元法）CompanyLogo凑微分法的步骤CompanyLogo3、换元积分法(变量代换法)利用第二换元法，当被积函数含有根式时，可作如下变换：三角代换CompanyLogo定积分换元：换元必须换限命题4.3.1CompanyLogo4、分部积分法或者或者1、幂函数×三角函数2、幂函数×指数函数把三角函数或指数函数放入微分号3、幂函数×对数函数(单一的对数函数）4、幂函数×反三角函数（单一的反三角函数）把幂函数放入微分号5、指数函数×三角函数——解方程CompanyLogo求

6、有理函数积分步骤：1、将假有理分式分解为多项式与真分式之和;2、真分式用凑微分法,或将真分式分解为部分分式之和;3、求多项式与部分分式的积分.有理函数的原函数都是初等函数.这类问题能够彻底解决.CompanyLogoCompanyLogo1.无穷积分2.瑕积分广义积分包括：无穷限积分和瑕积分CompanyLogo仿照牛顿-莱布尼兹的形式，假设记注瑕积分与定积分的记号在形式上相同，因此计算中应特别注意。在下例中，如果没有发现x=1是瑕点，则会导致下面的错误解法CompanyLogo无穷限积分是参注：（1）此积分是收敛的。例1例2例3CompanyLogo常用的泊松积分，可以证明==例Comp

7、anyLogo解CompanyLogo定积分应用1、平面图形的面积X型：由垂直于x轴的直线穿过，以x为积分变量Y型：由垂直于y轴的直线穿过，以y为积分变量oCompanyLogo画草图.得交点取y为积分变量,计算抛物线与直线所围成图形的面积.例4解.由积分区间为[-2,4].-24-4所求面积为:取x为积分变量,积分区间为[0,8].CompanyLogo2、已知截面面积函数的立体体积3、旋转体体积1.求由绕x轴旋转一周