多元函数微积分总复习.ppt

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1、微积分电子教安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics案多元函数微积分总复习安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics19591、空间两点间距离公式2、空间曲面方程常见的曲面方程⑴球面球心在（x0，y0，z0）半径为R.一、空间解析几何⑶柱面（二次柱面）⑵平面特殊平面：过原点的平面：平行于坐标轴的平面：坐标平面或平行于坐标平面的平面：特殊柱面：圆柱面母线平行于z轴,准线是xy坐标面上以原点为中心、R为半径的一个圆抛物柱面:x2=2py(p>0)表示母线平行于z轴,准线是xy坐标面上

2、的抛物线x2=2py(p>0)的柱面.表示母线平行于y轴,准线是xz坐标面上的双曲线：的柱面。12222=+-bzax表示母线平行于z轴,准线是xy坐标面上的椭圆:的柱面。12222=+byax椭圆柱面:12222=+byax双曲柱面:12222=+-bzax⑷旋转曲面椭圆绕x轴旋转椭球截痕法:为了了解曲面的形状.用、、截曲面得到的曲线可以判别曲面的形状。1、定义域：平面区域2、几何意义：曲面3、极限（二重极限）：(1)(x,y)→(x0,y0)的方式是任意的；(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似4、f(x,y)在(x0,y0)连续必须满足的条件：l

3、imf(x,y)存在x→x0y→y0⑵limf(x,y)=f(x0,y0)x→x0y→y0⑶⑴f(x,y)在点(x0,y0)处有定义；二、多元函数（二元函数）二元初等函数在其有定义的区域内都是连续的。闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上必可取得它的最大值和最小值．在有界闭区域D上的二元连续函数f(x,y),对任意介于函数最大值与最小值之间的数c，在D上必可找到一点(x0,y0)使得f(x0,y0)=c。①最大值和最小值定理②介值定理1、定义：2、几何意义：二元函数在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处偏导数反映的是该函数在点M0

4、沿x轴和y轴两个方向的变化率.3、求导法则：一元函数的求导法则同样适用，此时只要把另一个自变量作为常数处理。三、偏导数例1设，则（05）例2设，则（06）例3设，则（08）4、高阶偏导数①二阶纯偏导数②二阶混合偏导数③两二阶混合偏导数相等的条件：二阶混合偏导数连续5、多元复合函数与隐函数微分法①链式法则：②全导数③全微分形式不变性④隐函数的求导公式例4设，其中，则（06）例4设，其中，则（06）例5若，则（08）例6设，其中是方程确定的隐函数，求（05）例7设是方程确定的隐函数，求（06）例8设是方程确定的隐函数，求（07）例9设其中f可微，证明：（08）

5、解：得证。例10设其中f、g二阶可导，证明：（05）证明：得证。6、经济意义：①边际量p2看成常量,即相关价格不变时,自身价格在p1的基础上再变动一个单位所增(减)的需求量;11pQ¶¶21pQ¶¶12pQ¶¶22pQ¶¶p1看成常量,即自身价格不变时,相关价格在p2的基础上再变动一个单位所增(减)的需求量;p2看成常量,即自身价格不变时,相关价格在p1的基础上再变动一个单位所增(减)的需求量;p1看成常量,即相关价格不变时,自身价格在p2的基础上再变动一个单位所增(减)的需求量.②偏弹性E11称为A商品需求量Q1对自身价格p1的“直接价格偏弹性”，它表示

6、相关价格p2不变时，自身价格p1变动1%所引起的需求量变动的百分数；四、全微分可微的条件函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有连续的偏导数f'x(x,y)、f'y(x,y),则函数f(x,y)在点(x,y)处可微,且dz=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy.多元函数可微、偏导数存在与连续的关系.偏导数存在且连续函数可微偏导数存在连续近似计算公式：五、多元函数的极值和最值1、极值存在的必要条件一阶偏导数存在时，极值点的（驻点）极值点可以是驻点和偏导数不存在的点。①B2-AC<0,则f(x0,y0)是极值,且当A>0(或C>0)时,f(x0,y

7、0)是极小值，当A<0(或C<0)时,f(x0,y0)是极大值;②B2-AC>0,则f(x0,y0)不是极值;③B2-AC=0,则f(x0,y0)是否为极值需进一步讨论才能确定.2、极值存在的充分条件有二阶连续偏导数，且（驻点）3、最值驻点、偏导数不存在的点、定义区域边界上点的函数值比较。4、条件极值（拉格朗日乘数法）解出可能的极值点的坐标，再用以前的方法判断是否为极值点。构造函数解方程组5、最小二乘法（求经验公式）最小二乘法标准方程组：例11设两种产品的需求量、分别是其单价、的函数、总成本函数为则如何定价，才能使利润最大？（05）解：令得唯一驻点解：利润

8、极大当定价为利润最大。例11设两种产品的需求量、分别是其单价、的函