矩阵的应用-线性代数的MATLAB求解

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时间:2019-07-05

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1、第三章线性代数问题的MATLAB求解主要内容3.1.矩阵及其运算3.2.矩阵的初等变换与线性方程组3.3.矩阵的对角化3.1.矩阵及其运算3.1.1矩阵的算术运算MATLAB中矩阵的基本运算有+,-,*,/(右除),(左除),^(乘方)1、矩阵的线性运算两个矩阵A,B,A+B和A-B的运算规则是:若两个矩阵的维数相同,则可以执行加减运算,相应的元素相加减,如果尾数不相同则出错。2、矩阵的乘法设两个矩阵A,B分别为m*n和n*p的矩阵,则C=A*B为m*p的矩阵3、矩阵的除法(mldivide和mrdivide/)如果两个矩阵A,B是非奇异的,则AB和A/B运算都可以

2、实现。AB等价于inv(A)*B,A/B等价于A*inv(B)对含有标量的运算,两种除法运算的结果相同3/4和4/3都是0.754、矩阵的乘方^一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x,其中A为方阵,x为标量。5、点运算两个矩阵进行点运算是指他们的对应元素进行相关运算,要求两矩阵的维参数相同6、矩阵的转置使用单引号‘即可3.1.2方阵的行列式方阵A的行列式对应的求值函数为det(A)3.1.3矩阵的逆矩阵对于一个可逆的方阵A,求解函数为inv(A)对于普通矩阵A,求伪逆的函数为pinv(A)3.1.4应用实例-投入产出模型问题描述:国民经济各部门之间存在相互依存的关系,每个部

3、门在运转中将其他部门的半成品(称为投入)经过加工变为自己的产品(产出),如果根据各部门间的投入产出关系,确定各部门的产出水平以满足社会需求。设国民经济由农业、制造业、服务业三个部门构成,关系如下表(3-1):单位(亿元)投入/产出农业制造业服务业外部需求总产出农业15203035100制造业301045115200服务业206007150初始投入3511075总投入100200150三个部门的投入产出表如下(表3-2):单位(亿元)投入/产出农业制造业服务业农业0.150.100.20制造业0.300.050.30服务业0.200.300如第一行第二列的数字0.10表示生

4、产1个单位产值的制造业产品需要投入0.10个单位产值的农产品,由表3-1中20亿元农产品投入制造业可以产出200亿元制造业总产值,20/200=0.1。该表中的数字称为投入系数或消耗系数。需要解决的问题:1、如果今年对农业制造业和服务业的外部需求分别为50亿元、150亿元、100亿元,问这个三个部门的总产出分别是多少?2、如果三个部门的外部需求分别增加1个单位,问他们的总产出应分别增加多少?3、投入产出分析称为可行的,如果对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到非负的总产品。为了可行,投入系数应该满足什么条件?模型建立:设有n个部门,记一定时期内第i个部门的总产出为xi,

5、其中对第j个部门的投入是xij,外部需求为di,则:(1)表3-1的每一行都满足(1)式,投入系数记为aij,即为第j个部门的单位产出所需要的第i个部门的投入:(2)由(1)和(2)式得到(3)记投入系数矩阵产出向量需求向量(3)式可写为:(4)或(5)当投入系数A和外部需求d给定后,求线性方程组(5)即可得到各部门的总产出x。问题(1)的解答:编写MATLAB程序:a=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];d=[50150100]’;b=eye(3)-a;x=bd问题(2)的解答:由方程(5)可得到:(6)表明总产出x对外部需求是线性的,所以

6、当d增加1个单位时(△d),x的增量是若农业的外部需求增加1个单位,即△d=(1,0,0)T,△x为(I-A)-1的第1列。制造业和服务业同样处理。则可以直接使用求逆命令得到dx=inv(b),求得到的数字称为部门关联系数。问题(3)的解答:要使对任意的需求d≥0,(6)式总能得到总产出x≥0,显然只需要(I-A)-1≥0,由:且A≥0,所以只要:就有:由矩阵范数的性质可知与等价,且故只要即:(7)投入产出就是可行的。由(2)式可知(7)式等价于:(8)只要初始投入非负,(8)式自然成立。3.2.矩阵的初等变换与线性方程组3.2.1行最简形将矩阵初等变换成行最简形的函数为

7、rref(A),其中单位向量对应的列向量为最大线性无关组所含向量,其它列向量的坐标为其对应向量用最大线性无关组线性表示的系数。3.2.2矩阵的秩与迹矩阵中行(列)向量组的最大线性无关的向量的个数称为矩阵的秩,rank(A)矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和,也等于矩阵的特征值之和,trace(A)解编写Matlab程序如下formatrat%数据是有理分数表示a=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4];b=rref(a)format%恢复到短小数的显示格式3.2.3线性方程组

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