用变限积分函数证明不等式

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1、用变限积分函数证明不等式院系：数学与计算科学学院班级：应数5班姓名：谭晶晶学号：201040510534【摘要】证明不等式，方法多种多样。构造变限积分来证明不等式是非常巧妙的方法之一。本文介绍了利用变限积分和被积函数的不等式的方法解决不等式的证明。【关键字】变限积分；辅助函数；不等式；被积函数的不等式提出问题：变限积分是一类重要的函数，在微积分领域应用广泛。本文我们探讨：如何运用变限积分函数证明不等式。分析问题：对于形如abfxdx的积分，我们可以写成Ft=atfxdx，t=b的形式；对于简单函数Fx也可表示为Fx=axftdt的积分形式。由此可以看出不管是积分表达式还是一般表

2、达式都可以用变限积分表示出来那么我们便可将证明不等式问题转化为研究变限积分函数的问题中来，再结合具体情况根据函数的性质最终证出不等式。解决问题：在解决此类问题关键是构造变限积分形式的辅助函数。大致步骤可分三步：1构造辅助函数;2根据所构造的辅助函数性质结合题目进一步处理，多数采用求导的方法；3还原到原来形式，不等式得证。一．变限积分的定义1设f（x）在a，b上可积，根据定积分性质，对任意x∈a，b，f在a，x上也可积。于是，由ɸx=axftdt,x∈a,b.定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，又可以定义变下限的定积分ψx=axftdt,x∈a,b.

3、ɸ与ψ统称为变限积分。注意，在变限积分中，不可再把积分变量写成x。二﹑变限积分函数的应用一通过变限积分函数构造辅助函数证明不等式在解题中构造辅助函数后，要对函数求导，我们简单介绍一下变限积分函数的求导问题。设Fx=ψxφxftdt定义在a，b上，F’x=fφx∙φ’x-fψx∙ψ’x注：若被积函数中含x,不能直接用公式求导,应先作变代换使被积函数不含x,再求导。在构造辅助函数时，又可根据不等式的特征分为两类构造方法1将不等式两边相减的方法，即:要证形如abfxdx≤abgxdx的不等式，可设Ft=atfxdx-atgxdx。例一：设f（x）是0，a上的单调递增函数，且f（x）在

4、0，a上连续，求证：a20afxdx≤0axfxdx分析：在此证明不等式题中，可以先运用变限积分构造辅助函数F（x），由于f（x）在0，a上连续，得知F（x）可导，求出F（x）的导函数，再由f（x）是0，a上的单调递增函数推出F（x）的单调性，从而证出不等式。证明：令F（x）=0xtftdt-x20xftdt由f（x）在0，a上连续得知F（x）可导。且F‘x=xfx-120xftdt-x2fx=-x2fx-120xftdt又因为f（x）是0，a上的单调递增函数，故在0，x上有ft≤fx，t∈0，x则0xftdt≤0xfxdt=xf（x）则F‘x≥0。因此F（x）的单调递增。又因

5、为F（0）=0，a≥0,所以F(a)≥F(0)=0,即a20axdx≤0axfxdx例二：证明柯西斯瓦兹不等式（Cauthy-schwards不等式）2设f（x），g(x)在区间a，b上均连续，证明：abf(x)gxdx2≤abfx2dxabgx2dx分析：运用变限积分构造辅助函数Fx=axf(t)gtdt2-abft2dtabgt2dt那么证明柯西-斯瓦兹不等式就转化为F（x）在a，b上为单调不增的函数。证明：令Fx=axf(t)gtdt2-abft2dtabgt2dt由此式可知F（a）=0,由于f（x），g(x)在区间a，b上均连续，所以F（x）在区间a，b可导，求出导函数

6、F‘（x）F‘x=2fxgxaxftgtdt-g(x)2axf（x）2dt-f（x）2axg(x)2dtF‘x=ax(2fxgxftgt-gx2ft2-fx2gt2)dtF‘x=-axfxgt-gxft2显然当x∈a，b时，F‘x≤0。所以，F（x）在a，b上单调不增，那么F(b)≤0=F(a）。将x=b代入F（x）中，得Fb=abf(t)gtdt2-abft2dtabgt2dt≤0则axf(t)gtdt2≤abft2dtabgt2dt则abf(x)gxdx2≤abfx2dxabgx2dx柯西-斯瓦兹不等式得证。例三：g（x）在0，a上连续，且g（x）>0，证明：0a1g(x)

7、dx0agxdx≥a2分析：运用变限积分做辅助函数G（t）为不等式两边做差，再对G（t）求导，推出G（t）的单调性，继而证出不等式。证明：令Gt=0t1g(x)dx0tgxdx-t2对Gt求导得：G‘t=gt0t1gxdx+1gt0tgxdx-2t则G‘t=0tgtgx+gxgt-2dx≥0由G‘t≥0可知：Gt是在0，a单调递增函数，又因为G0=0，所以：Ga≥G0=0将t=a代入Gt=0t1g(x)dx0tgxdx-t2中，得：0a1g(x)dx0agxdx≥a2例四：设f（x），g（x