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1、安阳师范学院成人教育本科毕业论文论文题目：浅谈变限积分论文摘要：本文推广了变限积分的定义，并举例讨论了变限积分函数的单调性、奇偶性、周期性、连续性、可积性、可导性等性质的应用.关键词：变限积分；单调性；奇偶性；周期性；连续性；可积性；可导性参考文献：[1]华东师范大学数学系•数学分析（上下册）[M]•北京：高等教育出版社，1991,220-224±）,174-175（下）・[2]陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中•数学分析（第二版，上下册）[M].北京：高等教育出版社，1983,58-60（上,45-46（下）・[3]同济人学数学教研室•高等数
2、学（第四册，上下册）[M]・北京：高等教育出版社，2001,86（上）.⑷江瑞侠，祝明慧，贾兴斌.浅谈“变限积分”[J1.沧州师范专科学校学报,2006,（2）,51-53.[5]梁建英•与变限积分有关的一类问题的求解[J]・河北自学考试，1999,（5）,75-77.[6]王凤媛.导数在解决含有变限积分问题中的应用[J]・山西财经大学学报,2000,（S1）,178,191.[7]卢亚丽，李艳华，李战国，孙书安，李晔.变限积分函数求导方法研究[J]•河南教育学院学报（自然科学版）,2004,（1）,4-6.浅谈变限积分1引言由于函数概念的产
3、生和运用的加深，也由于科学技术发展的需耍，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学.微积分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想，'无限细分’就是微分，'无限求和’就是积分.无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题•微积分是与实际应用联系着发展起來的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用•特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展.微积分学这门学科在数学发展屮的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏儿何后，全部数学屮的最大的一个
4、创造•如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名
5、=
6、繁多的数学分支是树枝，而树干•的主要部分就是微积分•微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一•积分学是微积分学中最重耍的一部分内容•在口常生活中，涉及到容积、体积等都需要积分•积分学可分为不定积分和定积分.而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊•特殊性决定了它的重要性，也是经常考察的一个知识点•现就它的几个性质加以说明并举例阐述其应用.此外，为了解决在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数这一问题，必须引入变限积分这一内容.2变限积分的定义定义1设/
7、在[d,b]上可积，则对任何xe[a,b],f在[g,x]上也可积•于是，定义一个以积分上限尢为自变量的函数①（兀）=,xe[a,h,称为变上限的定积分.类似地，定义一个以积分下限兀为自变量的函数屮⑴二『/⑴力山引。"],称为变下限的定积分.①与屮统称为变限积分.Y定义2设/在[d,b]上可积，兀（）为内任一定点.于是，定义一个以积分上限兀为口变量的函数①（兀）=（,xE[a,b],称为变动上限的积分•类似地，定义一个以积分下限兀为自变量的函数屮（兀）=f（t）dt,xe[a,b],称为变动下限的积分.①与屮统称为变限积分.A注：①在变限积
8、分中，不可再把积分变量写成x（例如以免与积分上、下限的兀相混淆.②推广后的定义比推广前的更完备，定义域得到扩充•例如（（尸+3并推广前的定义域为[4,+co],推广后的定义域为[-00,4-cc].③变动上限积分和变动下限积分有下面的关系f⑴dt.变上（下）限积分函数是一种特殊形式的函数.它主要出被积函数的性质及积分上（下）限的结构来决定•下面分别从被积函数的性质（连续性、可积性等）来分别阐述变限积分,从而给出它们相关的分析性质.由于变动上限积分和变动下限积分有上面的关系，因此我们只讨论变上限枳分，变下限枳分有相同的性质.3变限积分的性质3.
9、1变限积分的单调性设①(x)=£9具中函数/(兀)在区间［a,b］上可积•勺为［%］内任一定点.即①(西)<①(吃)•从而①(x)是增函数.即①(%!)>0(%2).从而①(兀)是减函数.iii)若存在西,兀2使得/(^)>0,/(%2)<0则①(兀2)_①(西)=上式的符号无法判断，因此①(兀)在S"］上不具有单调性.3.2变限积分的奇偶性设①(x)=£/(f)df,其中两数于⑴在区间［a,b］上口J积.兀0为［a,b］内任一定点.i)若函数/(x)为奇函数，由变量替换it=-t有①(一x)=f(t)dt=fPf(u)du=［nf(u)du
10、+『f(«)如=0+①(兀)=①(x)即①(x)为偶函数ii)若函数/(兀)为偶函数，曲变量替换u=-t有其中c=-pf(u)du,即①(兀)不一定为奇函数.3.3
