《数值微积分》PPT课件

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1、通知数值分析上机考试时间改为2010年1月6日(第18周周三)上午10:05-11:05共60分钟在图文信息中心3号机房引子定积分计算：用原函数(不定积分)无法找到原函数F(x)怎么办？第五章数值微积分§5.1数值积分公式§5.2数值积分的余项§5.3复化求积法与步长的选取§5.4数值微分法§5.1数值积分公式机械求积Newton-Cotes公式代数精度Gauss求积公式1.机械求积原理：定积分——曲边梯形的面积理论基础：积分中值定理f()=?矩形公式与梯形公式左矩形右矩形中矩形梯形机械求积一般公式问题适当取求积节点和求积系数A0,…,An，计算函数值f(x0),…,f(xn),近似解误

2、差T(f)-Q(f)2.Newton-Cotes公式插值型求积公式:P(x)是f(x)的一个插值函数(linear,Lagrange,Hermite,spline等)Newton-Cotes公式:采用等距节点Lagrange插值Cotes系数Ci(仅依赖于n,i)变量代换x=a+th低阶Newton-Cotes公式梯形公式(n=1)Simpson公式(n=2)Cotes公式(n=4)数值稳定性:n<8时，Cotes系数非负3代数精度定义：若机械求积公式对所有幂函数f(x)=1,x,x2…xm准确，则称它具有m次代数精度。性质：若具有m次代数精度，则对所有次数不超过m次的多项式准确。代数精度

3、：梯形公式(n=1)1次，Simpson公式(n=2)3次，Cotes公式(n=4)5次。n为奇数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n；n为偶数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n+1。用代数精度构造插值公式例题求A1,A2及x2，使求积公式代数精度尽量高．解：得A1=1/4,A2=3/4，x2=2/34Gauss求积公式考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式的待定参数达2n+2个，从而可期望代数精度达到2n+1，称此类高精度的求积公式为Gauss公式，而对应节点称为Gauss点。一点Gauss(n=0)(中矩形公式)[-1,1]上的两点Gauss公式[-1

4、,1]上的Gauss点n次Legendre多项式定理5.1[-1,1]上n阶Gauss点恰为n次Legendre多项式的根。nGauss点求积系数代数精度002111，1325/9，8/9，5/95一般区间[a,b]上的积分变换到[-1,1]一般区间[a,b]上的两点Gauss公式§5.2数值积分的余项引理5.1（积分中值定理）若f(x),g(x)均在[a,b]上连续且不变号,则存在[a,b]使左矩形公式余项(证明:用Taylor公式)中矩形公式余项(证明:用Taylor公式)低阶情形梯形公式余项(证明:用积分中值定理)Simpson公式余项(证明:用积分中值定理+Hermite插值)

5、一般情况Newton-Cotes系列公式余项Gauss系列公式余项§5.3复化求积法与步长的选取复化求积原理定步长梯形法2阶收敛性定步长Simpson法P119例5.13(Simpson法精度高)4阶收敛性变步长梯形法递推关系逐级计算而在增加新节点时,不浪费原先的计算量,并且可由

6、T2n(f)Tn(f)

7、控制计算精度。xi-1xixi-1/2Romberg公式由

8、R2n(f)Rn(f)

9、控制计算精度,ji=1,2,由

10、Tii(f)Ti-1i-1(f)

11、控制计算精度.自适应步长法根据被积函数的陡缓自动选择局部步长考虑某区间[ak,bk],记hk=bkak,从[a,b]

12、开始按=

13、0.1(S2-S1)

14、检查精度，若满足精度则以S2为计算结果，否则分成两个小区间各自重复逐步上述过程，每个小区间精度用/2。这样重复下去，直至每个分段部分达到相应精度（步长为h=(b-a)/2k时精度/2k）不同段的步长可能是不一样的，积分结果为每一小段积分的总和。例5.15这里共使用了6个区间，调用函数13次，如果用等步长Simpson法达到该精度，需要调用函数17次。主要原因是自适应步长利用了函数的陡缓自动选择局部步长，变化快的地方细分，变化慢的地方粗分§5.4数值微分法1差商法向前差商公式向后差商公式中心差商公式差商公式比较中心差商精度比较高插值型求导公式两点公

15、式与三点公式差商公式+余项