《无穷大与无穷小》PPT课件

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1、教学目的:2、了解无穷小量与函数极限的关系与无穷小量的阶.1、理解无穷小量、大量的概念，掌握无穷小量的性质.3、掌握无穷小量与无穷大量关系.§1.3无穷小量与无穷大量极限1.极限是研究变量的变化趋势.2.函数极限(1)当x时,f(x)A,(2)当xx0时,f(x)A,一、复习极限的概念1.极限是研究变量的变化趋势.一、复习极限的概念对于函数y=f(x)，若自变量x在某个变化过程中，函数f(x)的极限为零,则称在该变化过程中，f(x)为无穷小,记作1、无穷小：一、无穷小与无穷大的定义常用,,等表示.即:以零为极限的变量称为

2、无穷小量.(简称无穷小)例：判断下列变量是否为无穷小量?(1)当x0时,x²是否为无穷小量;(2)当x0时,cosx是否为无穷小量;(3)当x时,(1/x)是否为无穷小量;解:注:——求极限——无穷小量是以零为极限的变量无穷小的判断方法2、无穷大：如果自变量x在某个变化过程中，函数f(x)的绝对值越来越大且可以无限增大，则称在该变化过程中的，f(x)无穷大。记作分类：正无穷大：负无穷大，.注意:虽然函数f(x)的极限不存在,但是它有确定的变化趋势,所以,借用极限符号来表示这种变化趋势.例：判断是否为无穷大量?解注:1、判断方法—

3、—求极限练习:判断在给定趋向下,下列变量是无穷大、无穷小或两者皆非.说明：1.一个变量是否为无穷小、无穷大与自变量的变化过程有关.3.无穷小、无穷大是变量,不能与很小及很大的数混淆2.零是常数中唯一的无穷小.说明：1.有限个无穷小的代数和仍然是无穷小2.有限个无穷小的积仍然是无穷小注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.（在自变量的同一变化过程中）二、无穷小的性质有界量与无穷小量的乘积为无穷小3.有界变量与无穷小的积仍然是无穷小有界变量：y=sinu,y=cosu.例：求解:[分析]当x→0时,sin(1/x)在[-1,1]之间摆动无

4、极限,但是当x→0时,x是无穷小量,所以,利用无穷小量的性质来求极限.练习：解三、无穷小量与函数极限的关系定理的重要意义:1.将极限的描述性定义转化为量化性的精确形式;函数f(x)可以表示成:极限A与一个无穷小之和.2.可以作为极限运算的证明的依据.即:在同一变化过程中,函数f(x)极限是A的充要条件为:求如图所示例解四、无穷小与无穷大的关系定理：在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.则为无穷小意义:关于无穷大的讨论,可归结为关于无穷小的讨论.利用无穷小与无穷大的关系求极限.错误写法：解[分析]将x→3代

5、入函数中,分子趋于10;分母趋于零,不能直接求极限.考虑用无穷大与无穷小关系求极限。例练习：解练习：认真！解例(1)y=x²-4解[分析](1)要使y=x²-4是无穷小,即x²-4→0,只要下列变量中,当x→?是无穷小;当x→?是无穷大.x²→4,所以当x→±2时,y=x²-4是无穷小.[分析](2)解五、无穷小的阶X10.50.10.010.001……02x210.20.020.002……0x210.250.010.00010.000001……02例：当x0时，x，2x，x2都是无穷小，但它们趋于0的速度却不一样。例例：当x→

6、0时，比较下列无穷小的阶(求比值的极限）解练习：当x→∞时，比较下列无穷小的阶解八、小结：1、无穷小：极限为零的变量5、无穷小与无穷大的关系（互为倒数）2、无穷大：极限不存在，但有趋于无穷大的变化趋势6、无穷小的阶3、无穷小的性质(有界变量乘无穷小量为无穷小量）4、函数极限与无穷小的关系