《线性代数A》模拟题（1）答案

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1、线性代数A模拟题（1）解答线性代数A模拟题（1）解答一、填空题1．设表示排列逆序数，则。2．的充要条件是满足。3．三阶行列式中第二行元素依次为，相应的余子式依次为,则.4．，，且（亦称，可交换），则，。5．若，且，则。6．，，则。7．若元线性方程组有唯一解，且系数矩阵的秩为，则与的关系是。二、计算题1．计算行列式解：-7-线性代数A模拟题（1）解答1．用行列式按行（或列）展开计算解：2．设，求（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）3．解：4．设，试求。-7-线性代数A模拟题（1）解答解：，，，另解：，，，或1．

2、，证明可逆，并求。解：，所以可逆。2．设为阶方阵，且，其伴随矩阵为，求。解：，3．求的逆阵。-7-线性代数A模拟题（1）解答解：，1．设矩阵和满足，其中，求矩阵。解法一：，由可逆，且，解法二：构造矩阵，实施一系列初等行变换，将变为的同时，则变为了，8．设向量组：，，，，试求向量组的秩,并求它的一个最大无关组。并用最大无关组表示其余向量。解：（1）-7-线性代数A模拟题（1）解答矩阵的秩，所以向量组的秩，向量组最大无关组所含向量的个数为，取阶梯形矩阵非零行的第一个非零元所在的列。令。，，组线性无关，即组为的最大无关

3、组。（2），9．求方程组的通解。解：，原方程有无穷多解。令，则对应-7-线性代数A模拟题（1）解答即得基础解系：，所以原方程的通解为10．讨论为何值时，非齐次线性方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。解：（1）当，且时，，方程组有唯一解。（2）当时，，，方程组无解。（3）当时，，，方程组有无穷多解。一、证明题：1．设向量组：线性无关，而向量组：线性相关，试证明向量必可有向量组线性表示，且表示式是唯一的。证法一：令，，。因为：线性无关，有；因为：线性相关，-7-线性代数A模拟题（1）解答。所以

4、，，从而。由，知方程组有唯一解，即向量可有向量组线性表示，且表示式是唯一的。证法二：：线性相关，存在一组不全为零的数，使：线性无关，，若，：线性无关，所以的表示式是唯一的。2．设线性无关，试证明：（1），，线性无关。（2），，线性相关。证明：（1）设有三个数使得由线性无关，，齐次线性方程组只有零解，即所以，线性无关。证明：（2）设有三个数使得由线性无关，，齐次线性方程组有非零解，即线性相关。-7-