《曲面的概念》PPT课件

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1、第二章曲面论§2.1曲面（Surface）的概念2.1.1简单曲面及其参数表示定义1平面上不自交的闭曲线称为约当（Jordan）曲线．换句话说，简单曲线自身不相交．若当定理：平面上一条闭合（首尾相接）的若当曲线，把平面分成2个区域．如果在这两个区域内分别取一点，再用一条曲线将其相连，则这条连线必定和原来的闭合若当曲线相交．它的证明需要用到拓扑学的知识．约当曲线分平面为两部分：1）中间一个是有限的；2）另一个是无限的．初等区域：每一部分都以约当曲线为边界，其中有限的区域称为初等区域．初等区域是若尔当曲线的内部．例子：正方形或矩形的内部，圆或椭圆的内部等．简单曲面：如果平面

2、上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，双方连续的在上映射（同胚映射），则我们把三维欧氏空间中的象称为简单曲面．例子：1.矩形纸片（初等区域）；2.可以卷成带有裂缝的圆柱面；3.圆环面．定义2给出平面上一初等区域G，G中的点的笛卡儿坐标是（u，v），G经过同胚映射后的象是曲面S．对于空间的笛卡儿坐标系来说，S上的点的坐标是（x，y，z），曲面的解析表达式：称为曲面S的参数方程，u和v称为曲面S的参数坐标或曲纹坐标．曲面的参数方程简写成曲面的向量函数的形式：例1圆柱面：G是长方形圆柱面的参数方程为其中R为截圆的半径．例2球面：G是长方形，（经度），（纬度），球面的参

3、数方程为其中R是球面的半径．例3旋转面：考虑xOz平面上的曲线（C）：把此曲线绕z轴旋转，则得一曲面，称为旋转面．它的G是一长方形：旋转面的参数方程为定义3初等区域G所在平面上的坐标直线：在曲面上的象称为坐标曲线．u曲线：v=常数，u变动时的曲线叫做u曲线．v曲线：u=常数，v变动时的曲线叫做v曲线．曲纹坐标网：两族坐标曲线u曲线（v=常数）与v曲线（u=常数）在曲面上构成的坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网．例4圆柱面曲线（z=常数）：垂直于z轴的平面和圆柱的交线，它们都是圆．z-曲线（常数）：是圆柱面的直母线．例5球面曲线（常数）：是球面上等纬度的圆（纬线）．曲线（=常

4、数）：是球面上过两极的半圆—子午线（经线）．例6旋转面曲线（t=常数）：是垂直于z轴的平面和旋转面的交线—平行圆（纬线）．t曲线（常数）：是旋转面的母线—子午线（经线）．2.1.2光滑曲面的切平面和法线定义4如果曲面方程或中的函数有直到k阶的连续偏微商，则称为k阶正则曲面或类曲面．特别地，类曲面又称为光滑曲面．定义5过曲面上每一点有一条u-曲线：又有一条v-曲线：在曲面上点处的这两条坐标曲线的切向量分别为如果它们不平行，即在点不等于零，则称点为曲面的正常点．以后我们只讨论曲面的正常点．定义6由和的连续性（因为曲面是光滑的），如果在处不为零，则总存在的一个邻域U，使得在此

5、邻域内于是，在这片曲面上，有一族u-曲线和一族v-曲线满足：经过曲面上每一点有惟一的一条u-曲线和惟一的一条v-曲线，而且这两族曲线彼此不相切．这样的两族曲线称为曲面上的一个正规坐标网．命题1曲面在正常点的邻域U中总可以有形式的参数表示．证明：由于在正常点的邻域U内，即矩阵的秩为2．即三个行列式中总有一个行列式在的邻域U中不为零．假设第一个行列式不等于零，则由隐函数的存在定理，在U中存在惟一一对单值的连续可微函数则曲面在邻域U上的参数表示可以写成即命题2曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量所决定的平面上．证明：若曲面上点的曲纹坐标由下列方程来确定：其中

6、t是自变量．把它们代入曲面的参数方程中，则这种点的向径可以用复合函数来表示：于是r可以表示为一个变量t的函数．当t在某一区间上变动时，r的终点在空间中描绘一条曲线．因此在曲面上确定某一曲线．该曲线在曲面上点处的切方向称为曲面在该点的切方向或方向．它平行于分别是在点的两条坐标曲线的切向量．上式说明共面，所以命题2成立．称此平面为曲面在这一点的切平面．将下式写成这样所决定的曲面的切方向，完全依赖于的比值曲面上一点的切平面的方程设表示切平面上的任意点M的向径，则共面．由此得出曲面点的切平面的方程为：写成坐标的形式曲面形式的参数表示对于曲面形式的参数表示其中则曲面在点处的切平面

7、的方程是即其中定义7曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向．过这点平行于法方向的直线称为曲面在该点的法线．曲面的法向量为于是曲面的单位法向量为曲面的法线方程曲面的法线是通过点，并且平行于法方向的直线，因而它的方程可写为即其中是法线上的任意一点，是参数．用坐标表示的法线方程具有如下的形式：对于曲面形式的参数表示，法线方程可简化为例1求圆柱面在任一点的切平面和法线方程．解：在任一点的切平面方程为即在任一点的法线方程为即