剖析数学高考中的恒成立问题

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1、剖析高考数学中的恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。下面我就以近年高考试题为例加以剖析：一、函数性质法1

2、、二次函数：①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例1(08年江西卷理12)．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（)A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)例2（09年江西卷文17）设函数．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值。（节选）2、其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不

3、存在，则恒成立的上界小于0）.10例3（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。例4（08天津文21）．设函数，其中．（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．（节选）例5（09年全国卷II文21）设函数，其中常数（II）若当时，恒成立，求的取值范围。（节选）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m二、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变

4、量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例6（07辽宁卷文科22)已知函数，10，且对任意的实数均有，。(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围.例7(08安徽文科20)．已知函数，其中为实数．（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．（节选）三、分离参数法　利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或

5、最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例8（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是.10例9（09年山东卷文21）已知函数,其中w.w.w.k.s.5…。（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围。四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其

6、对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例10(07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)（D）例11、已知a>0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范围为。例12、当x(1,2)时，不等式(x-1)2

7、考数学中的恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。下面我就以近年高考试题为例加以剖析：一、函数性质法1、二次

8、函数：①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。图31oxy图11xy01xy0图2例1(08年江西卷理12)．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（)A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)分析：与的函数类型，直接受参数的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解