高考中不等式恒成立问题的破解策略

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1、不等式恒成立问题的求解策略文/黄邦活一、判别式法例1关于兀的不等式ax2-ax+>0,对xeR恒成立的充要条件是A.00即为1〉0,不等式显然成立.当GHO吋，要使不等式ax2-ax+>0对xwR恒成立，则有［>()2△=(—g)2—4q<0解得Ova<4.综上所述，对xeR恒成立的充要条件是a=0或0vav4,即05av4.选D.小结判别式法主要解决与一元二次不等式有关或经过转化与一元二次不等式有关的问题•-般地,不等S+W0对任意实数X恒成立o：：：%；；：;不等式ax?+bx+c<0对任意实数兀恒成

2、立<=>a=b=0,JavO,c<0"(△<()・二、分离变量法例2己知函数f(x)=ax4x+hx4-c(x>0)在x=l处取得极值—3—c,其中a,b,c为常数.(1)试确定的值.(2)讨论函数于(兀)的单调区间.(3)若对任意x>0,不等式/(x)>-2c2恒成立，求c的取值范围.解(1)由题意可知/(1)=—3—c,于是b—c=—3—c,从而有b=-3・对/(兀)求导,得/*(%)=4ax3Inx+ax4•—+4加'=x3(4aInx4-a+4b).*'x由题意得广(1)=0,于是有a+4b=0.解得a=12・(2)由⑴可^/z(x)=48x3lnx(x>0).令广(x)

3、=0,解得x=l.当0l时,fx)>0,此时/(x)为增函数.因此，/(兀)的单调递减区间为(0,1),/(兀)的单调递增区间为(1,+8).⑶由(2)可知，/(兀)在x=I处取得极小值/(l)=-3-c,此极小值也是最小值•要使/(兀)2—2/(兀〉0)恒成立，只需-3-c^-2c2,即2c?—c—320,从而有(2c-3)(c+1)20.解得c2寸或cW-1.「3、所以，c的取值范囤是(-oo,-l]U-,+oo.L2>小结解决不等式恒成立问题常常是将原问题转化为函数的最值或值域问题，我们在解决问题时常用到以下结论：(1)

4、a>f(x)s.成立u>a〉/(%)max,即大于函数/(兀)值域的上界；(2)a/*(兀)min，即小于函数/(兀)值域的下界.三、构造函数法例3已知函数f(%)=x4+ax3+2x2+b(xe7?),其中a,beR.(1)当a=-—时，讨论函数/(兀)的单调性.(2)若函数于(兀)仅在x=0处有极值，求a的取值范围.(3)若对于任意的dw[-2,2],不等式/(x)

5、.3令/'(x)—0，解得^

6、=0,x2=—,x3=2.当兀变化时,/z(x),f(x)的变化情况如下表:X(-。0)0(0丄)2122(2,+8)广⑴—0+0—0+极小值/极大值X极小值/所以，/(x)在区间(0,*)和(2,+00)上是增函数，在区间(-00,0)和(*,2)上是减函数.⑵由已知有fr(x)=x(4x2+3ox+4)，显然x=0不是方程4/+3处+4=0的根.为使/(兀)仅在x=0处有极值，则必须4x2+3«x+4>0成立，即有A=9/_64<0.解QQ上述不等式，得--<«<-.这时，/(0)=b是唯一极值.QQ因此满足条件的。的取值范围是(3)由条件ae[-2

7、,2],可知A=9a2-64<0,从而有4〒+3必+4>0恒成立.当x<0时，/z(x)<0；当x>0时，广(x)〉0.因此函数.f(x)在[一1,1]上的最人值是/(I)与/(-I)两者中的较大者.为使对任意的aw[-2,2],不等式/(x)<1在[-1,1]上恒成立，当且仅当即]b~~2~a^ae[-2,2]上恒成立.解得&<-4.b<-2+a故满足条件的b的取值范围是(-a),-4].四、变更主元法例4若不等式t2-2at+l>sinx对_切xg[一龙,龙]及aw[-1,1]都成立，则t的取值范围是.解因为xw[—龙，刃，所以sinxe[-1,1],于是由题意可得对一切aw[

8、—1,1]不等式t2-2at+>恒成立.由t2-2at+>1得⑵)•a-t2<0.^f(t)=⑵)•a-t2,则/(/)是关于Q的一次函数，所以有彳八~•解得t>2.=<0故/的取值范围是[2,+00).小结某些含有参数的不等式恒成立问题，我们在分离参数时会遇到讨论的麻烦，有时若能换一个角度来思考，变参数为主元，则可使问题迅速地得到解决.【高考预测题】jr1.对于0W0,-,cos?y+2加sin〃—2加—2<0恒成立，则实数加的取值范围是2A.(―