《机械设计优化方法》PPT课件

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1、机械优化设计太原科技大学张学良第三章一维优化方法§3.1进退法确定初始搜索区间欲求一元函数f(x)的极小点，首先必须确定极小点所在的区间，然后再不断缩小此区间，从而求得其极小点的数值近似解。所以，一维搜索包括两个内容：其一是确定包含有极小点的搜索区间，其二是缩短区间获得极小点。一维搜索时，假设一元函数f(x)具有凸性（单谷性），即在所考虑区间具有唯一的极小点x*。进退法的基本思想：按照一定规则试算若干个点，比较其函数值的大小，直到找到按“大—小—大”变化的单谷区间为止。xf(x)abx*大小大f(x)xx1x2h02h0x31

2、.选择一个适当的初始步长h=h0。从任意点x1出发，以x1和x2=x1+h为两个试算点，计算两点处的函数值。f1=f(x1)f2=f(x2)3.比较f1和f2的大小若f1>f2，h2h，继续做前进计算x3=x2+h=x2+2h0，并计算f3=f(x3)f(x)xx1x2h02h0x3若f1f2，则满足f1>f2

3、,x3]内，令a=x1,b=x3，初始搜索区间[a,b]确定。对于后退计算，函数极小点必在区间[x3,x1]内，令a=x3,b=x1，初始搜索区间[a,b]确定。若f3

4、割法的基本原理在目标函数的初始搜索区间[a,b]内任取两点x1、x2，且x1f2时，去掉[a，x1)，保留[x1，b]区间缩短为[x1，b]。作置换ax1，新区间形成。该方法的缺陷是：每次需要计算两个新点。要提高计算效率，就得减少每次计算的点数，因此只能每次增加一个计算点，这就要求

5、新区间与原区间满足一定的比例关系，所选的两个计算点在区间[a,b]内的位置应是对称的。ab1设区间[a,b]的长度为1，即单位长度区间，在其上初取两对称点x1、x2，且满足ax2=X，ax1=1-X计算f1=f(x1)，f2=f(x2)，并比较f1和f2的大小。当f1

6、系：ax2/ab=ax1/ax2即X/1=(1–X)/X解得X=0.618若f1>f2，可以求得同样的值。可见，新区间是原区间的0.618。所以称为0.618法或黄金分割法。黄金分割法的计算步骤及算法框图（略）举例：用黄金分割法求目标函数f(x)=x2-5x+2的最优解。§3.3二次插值法（抛物线法）基本思想：在目标函数极小点所在区间内，利用三个点的函数值构造一个二次插值多项式(x)=ax2+bx+c是来近似表达原目标函数f(x)，并用(x)的极小点x*近似代替f(x)的最优点x*。当这种近似代替不满足精度f(x)f(x

7、)xabx1x2x3x*(x)x*要求时，按照一定规律缩短区间，并在新区间内重新构造三点二次插值多项式，再求其极小点。如此反复，直到满足精度要求为止。在目标函数极小点所在区间内取三点x1=a，x2=(a+b)/2，x3=b，计算相应的目标函数值f1、f2、f3，则应有(x1)=ax12+bx1+c=f1(x2)=ax22+bx2+c=f2(x3)=ax32+bx3+c=f3解该线性方程组，可以得到a、b、c，并由此可以求得x*=（x1+x3-d1/d2）/2d1=(f3–f1)/(x3-x1）d2=[(f2–f1)

8、/(x2-x1）-d1]/(x2–x3)f=f(x*)检验收敛准则

9、x*-x2

10、≤1？若满足，以x*代替f(x)的最优点x*，并输出x*=x*，f*=f(x*)。若不满足，缩短区间后重复上述迭代计算过程，直至满足要求为止。缩短区间分两种情况，即1)x*>x22)