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1、第一讲奇数与偶数整数按能否被2整除可分为两类，一类余数为0，称为偶数，一类余数为1，称为奇数．偶数可以表示为2n，奇数可以表示为21n-或21n+．一般地，整数被正整数m去除，按照余数可以分为m类，称为模m的剩余类Ci=º{xxim(mod)}，从每类中各取出一个元素aCiiÎ，可得模m的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团），0,1,2,L,1m-称为模m的非负最小完全剩余系.通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用．关于奇数和偶数，有下面的简单性质：（1）奇
2、数¹偶数．（2）偶数的个位上是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9．（3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；．（4）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数．（5）除2外所有的正偶数均为合数；（6）相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半．（7）偶数乘以任何整数的积为偶数．（8）两数和与两数差有相同的奇偶性，a+bº-ab(mod2)．（9）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数．n（10）n个偶数的积是2的倍数．kk（11）(-=11)的充
3、分必要条件是k为偶数，(-11)=-的充分必要条件是k为奇数．222（12）(2n)º0(mod4)(,2nn-1)º1(mod4)(,2-º1)1(mod8)．m（13）任何整数都可以表示为nk=-2(21)．……1例1（1906，匈牙利）假设a,aa,,L是1,2,,Ln的某种排列.证明：12n如果n是奇数，则乘积(a-12)(a--)L(an)是偶数．12n解法1（反证法）假设(a-12)(a--)L(an)为奇数，则ai-均为奇数，奇数个12ni奇数的和还是奇数奇数=(a-12)+(a-)+L+-(an)12n=(a12+a+LL+an
4、n)-(1+20++=)，这与“奇数¹偶数”矛盾．所以(a-12)(a--)L(an)是偶数．12n评析这个解法说明(a-12)(a--)L(an)不为偶数是不行的，但没有指出为偶数12n的真正原因．体现了整体处理的优点，但掩盖了“乘积”为偶数的实质．解法2（反证法）假设(a-12)(a--)L(an)为奇数，则ai-均为奇数，a与12niii的奇偶性相反，{1,2,,Ln}中奇数与偶数一样多，n为偶数．但已知条件n为奇数，矛盾．所以(a-12)(a--)L(an)是偶数．12n评析这个解法揭示了(a-12)(a--)L(an)为偶数的原因是“
5、n为奇数”．那么12n为什么“n为奇数”时“乘积”就为偶数呢？解法31,2,LL,n,a,aa,,中有n+1个奇数，放到n个括号，必有两个奇数在同一12n个括号，这两个奇数的差为偶数，得(a-12)(a--)L(an)为偶数．12n评析这个解法揭示了(a-12)(a--)L(an)为偶数的原因是“当n为奇数时，12n1,2,,Ln中奇数与偶数个数不等，奇数多，某个括号必是两个奇数的差，为偶数”．练习1-1（1986，英国）设a,aa,,L是整数，b,bb,,L是它们的一个排列，证明127127(ab1-1)(a2--b2)L(ab77)是偶数．
6、练习1-2p的前24位数字为p=3.14159265358979323846264，记a,aa,,L为1224该24个数字的任一排列，求证(a-a)(a--a)L(aa)必为偶数．123423242例2能否从1,2,L,15中选出10个数填入图的圆圈中，使得每两个有线相连的圈中的数相减（大数减小数），所得的14个差恰好为1,2,L,14？解考虑14个差的和S，一方面S=1+2+L+=14105为奇数．另一方面，每两个数ab,的差与其和有相同的奇偶性a-bº+ab(mod2)，因此，/14个差的和S的奇偶性与14个相应数之和的和S的奇偶性相同，由
7、于图中的每一个数a与//2个或4个圈中的数相加，对S的贡献为2a或4a，从而S为偶数，这与S为奇数矛盾，所以不能按要求给图中的圆圈填数．评析：用了计算两次的技巧．对同一数学对象，当用两种不同的方式将整体分为部分时，则按两种不同方式所求得的总和应是相等的，这叫计算两次原理成富比尼原理．计算两次可以建立左右两边关系不太明显的恒等式．在反证法中，计算两次又可用来构成矛盾．例3有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？解（1）4堆是不能保证的．如4堆的奇偶性为：（反例）（奇
8、奇），（偶偶），（奇偶），（偶奇）．（2）5堆是可以保证．因为苹果和梨数的奇偶性有且只有上述4种可能，当把这些苹果和梨分成5堆时，必有2堆属于同一奇偶
