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1、第10章§10.3格林公式及其应用一、格林公式三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件域D边界L的正向:域的内部靠左区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)机动目录上页下页返回结束一、格林公式则有(格林公式)定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数在D上具有连续一阶偏导数,定理1目录上页下页返回结束则1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且证明:定理1目录上页下页返回结束②同理可证①即①、②两式相加得:定理1目录上页下页返回结束证毕为有限个上述形式的区域,如图2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割证:由题意则利用
2、格林公式机动目录上页下页返回结束设L是一条分段光滑的闭曲线,取正向，证明例1.格林公式:定理1目录上页下页返回结束并计算椭圆所围图形的面积A。例2.分段光滑正向曲线L围成区域D，证明D的面积证:由题意则利用格林公式取则机动目录上页下页返回结束解:为利用格林公式,添加与L围成区域D,原式从O(0,0)到A(4,0).圆周其中L为上半例3.计算机动目录上页下页返回结束设L所围区域为D,若利用格林公式的分段光滑正向闭曲线.其中L为一无重点且不过原点例4.计算解:由题意若机动目录上页下页返回结束在D内作取逆时针方向,若记L和lˉ所围区域为利用格林公式,对机动目
3、录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,函数在D内(1)沿D内任一按段光滑闭曲线L,有具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:(3)是D内某二元函数的全微分,即在D内恒成立。(4)与路径无关,只与起止点有关.(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分定理2目录上页下页返回结束说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))证明(1)(2)定理2目录上页下页返回结束则同理可证因此有在D内取定点因曲线积分和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明(2)(3)定理2
4、目录上页下页返回结束设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(3)(4)定理2目录上页下页返回结束设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为(如图),利用格林公式,得证毕证明(4)(1)或说明:根据定理2,若在某区域内则3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使机动目录上页下页返回结束。。出这个函数.是某个函数的全微分,并求例5.验证证:令则由定理2可知存在原函数机动目
5、录上页下页返回结束数,并求出它.在右半平面(x>0)内存在原函例6.验证或机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束（1）任一简单闭曲线包围的区域不含有原点；（2）以原点为圆心的任一圆周。其中L为：补充例题1：计算解:由题意P、Q在不含原点的任意区域内具有一阶连续偏导数。机动目录上页下页返回结束（1）这个曲线积分与路径无关，所以（2）由这一圆周所包围的区域内含有原点，因此，不满足定理2及格林公式的条件，只能直接计算，这一圆周L的参数方程为机动目录上页下页返回结束其中例2.计算沿逆时针方向。解:由题意适当选取作圆周机动目录上页下页返回结束使L1包含
6、在L的内部，并取L1的方向为顺时针,则P、Q在L、L1所包围的区域D内有连续的一阶偏导数，且L、L1构成D的边界，由格林公式机动目录上页下页返回结束常见错误：错误原因：P、Q及其一阶偏导数在（0，0）点没有意义，故不能直接利用格林公式。机动目录上页下页返回结束其中C为单位圆周的正向.例3.计算解:因C包围的区域中有洞(0,0)，则不能用格林公式。积分比较繁琐，利用环绕同一些洞闭曲线（同方向）如果直接用曲线C的参数方程则的积分相同，来计算就比较方便，取椭圆机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4.计算顺时针.其中解:机动目录上页下页返回结束注
7、意：利用L的方程简化被积函数。内容小结机动目录上页下页返回结束2.等价条件1.格林公式在D内与路径无关.设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有对D内任意闭曲线L有在D内有在D内有思考与练习设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=的半圆,计算到点从点依逆时针备用题1.设C为沿解:令,则利用格林公式,有机动目录上页下页返回结束B(0,1)为顶点的三角形闭域.其中D是以O(0,0),A(1,1),2.计算作业P2154;5;9;10(1)第四节目录上页下页返回结束
