《工学格林公式》ppt课件

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1、Mon.May.8Review性质，几何意义与计算法：特别注意方向性。性质，物理意义与计算法注意：化定积分时积分上限不一定大于下限。3.两类曲线积分的关系：§3Green公式区域连通性的分类Green公式平面曲线积分与路径无关的条件全微分准则一.区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD二.格林(Green)公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDc

2、CE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知格林公式的实质：沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系。可用于计算平面区域的面积。xyoLABxyo解P，Q具有一阶连续导数，由Green公式，有：令利用Green公式，挖掉原点，作以为半径，原点为圆心的小园，在挖掉的区域内用Green公式。D为任一区域时，结果相同：1)不包含原点的任意封闭曲线；2)以原点为中心的正向单位园；3)包含原点的任意正向闭曲线。解所给积分曲线不是封闭曲线，化定积分计算太复杂。（可试算）加补直线AO，使L与AO构成一条封闭曲线的反向，若

3、设围成区域D，则由Green公式：在AO上，y=0，故dy=0，于是证明设L上的单位切向量与L的正向一致，与正x轴的夹角为则L的外法线单位向量与x轴的夹角为，从而于是解Sun.May.8Review1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系——格林公式注意公式成立的条件。可用于计算平面区域的面积。三曲线积分与路经无关的条件Gyxo1曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有性质：区域G中的曲线积分路径无关G中任何一条封闭曲线的积分为零。证明在G内任取两点M0和M1，设L1和L2是G内从M0到M1的任意两条定向曲线，则是

4、G内的一条定向闭曲线，因故得：2曲线积分与路径无关的条件定理1两条件缺一不可有关定理的说明：证明：在G内在G内的任何封闭的分段光滑曲线L1的正向上的曲线积分满足Green公式条件，因而有：曲线积分与路经无关（由性质）。用反证法设在G内任一条封闭曲线L1上的积分但存在一点M0(x0,y0)使由偏导数的连续性，必定存在以M0为中心，r为半径的足够小的园，它所围区域为K，在K内恒有于是矛盾！如果曲线积分与路经无关，通常考虑采用平行于坐标轴的折线段为积分路径以简化计算。解曲线积分与路经无关解解四全微分准则现考虑反问题：已给全微分形式定

5、义定理2由定理1知，称为P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数。求原函数的公式。推广的Newton-Leibniz公式，或曲线积分基本定理。解解四个等价命题则全微分方程如果一阶微分方程可以写成下列形式并满足则称上述方程为全微分方程，由等价命题知是某个函数的全微分，故解方程通解为：hw：p1531(1),2(1),3,4(2),5(2,3,4),6(4,5).p2826;p2851(3,4).