《正交函数集》PPT课件

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1、第三章正交函数集及信号在正交函数集上的分解3.1信息分解的物理意义3.2正交函数集3.3信号在正交函数集上的分解3.4举例3.5应用及小结3.1分解的物理意义1、现实生活中可类比的事例衡量钢材的质量，需要分析它的强度、韧性、弹性等指标衡量学习情况，要看多门功课的成绩水是由H和O组成的………………………2、几何学中的例子XYP平面坐标系3、启示自然界中存在着一些能够组成各种事物的基本单元不同的事物可以由这些基本单元通过不同的配比构成数学上，可类比的现象为“线性表出”即A=b1·B1+b2·B2+…+bn·BnBn

2、被称为基元，bn被称为系数3.2正交函数集1、正交集示例二维坐标系XYP三维坐标系XZPY2、由坐标系统得到的启示系统中存在多个轴（向量集合）对二维坐标系统，存在X，Y两坐标轴对三维坐标系统，存在X，Y，Z三坐标轴轴之间彼此两两垂直（向量正交）对二维坐标系统，X轴与Y轴垂直（正交）对三维坐标系统，X轴、Y轴、Z轴彼此两两垂直（正交）3、正交集合正交集合是由一系列元素组成的坐标系统中的元素是向量正交函数集合的元素是函数元素是彼此正交的坐标系统中向量彼此正交正交函数集合中的函数彼此正交正交建立在点积的基础上如果两个元

3、素的点积为0，则两元素正交4、矢量点积5、函数点积-111tf1(t)11tf2(t)函数点积定义在一个区间之上11tf1(t)f2(t)5、函数点积-26、正交集定义7、正交函数集定义-17、正交函数集定义-28、“正交”与“垂直”正交的概念更为广泛，而垂直一般而言是正交在几何学中的反映正交与垂直是等价的概念9、正交集举例11tf1(t)11tf2(t)11tf3(t)类比理解正交函数集一个正交函数集可以类比成一个坐标系统正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的的一个轴在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个

4、点点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。{f1(t),f2(t),f3(t)}构成正交函数集3.3信号在正交函数集上的分解1、正交集上的分解-1从高等数学和线性代数的知识可知：C1=[1，0，0]C2=[0，1，0]C3=[0，0，1]可以构成了三维矢量空间上的正交集也就是三维坐标空间上的三个正交轴向量间点积的定义为：C1•C2=C1TC2三维坐标系XZPY1、正交集上的分解-2任意一个三维矢量（三维空间中的一点）都可以由上述三个正交矢量（正交轴）线性

5、表出：P（x,y,z）=x·C1+y·C2+z·C3其中：x=P•C1y=P•C2z=P•C3上述过程即为三维矢量空间或称为三维坐标空间中的正交集上的分解1、正交集上的分解-3如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。不完备的情况，比如：值空间为三维线性空间C1=[1，0，0]，C2=[0，1，0]，C3=[0，0，1]所构成的正交集是完备的而C1=[1，0，0]，C2=[0，1，0]所构成的正交集是不完备的1、正交集上的分解-4不完备情况下

6、，一般要以一定的准则来完成元素的分解。（最常用的是均方误差准则）例如：矢量D=[2，3，9]要在上述的正交函数集上分解，显然可以分解成：2C1+3C2令其为D1，则D1=[2，3，0]1、正交集上的分解-5此时的均方误差定义为：

7、D1-D

8、2=

9、[0，0，9]

10、2=02+02+92=81尽管误差很大但已经是可能的最小的均方误差了。所以在此正交集上的分解有：D2C1+3C21、正交集上的分解-7最小均方误差的几何意义正交函数集中的矢量C1正交函数集中的矢量C2C1，C2通过线性加权所可能获得的矢量可以构成一个平面

11、最小方差准则下的最优分解D1YXZ值空间中的一个矢量D2、正交函数集上的分解-12、正交函数集上的分解-22、正交函数集上的分解-32、正交函数集上的分解-4最终得到求解系数的公式为：1、方波的分解-1将下列方波信号f(t)在的正交函数集{sint，cost}上分解0tf(t)1、方波的分解-22、周期信号的付里叶级数-1高等数学中我们知道，一个周期信号可以表示为：上述的结果是如何来的呢？先看一个例子2、周期信号的付里叶级数-2信号叠加举例：W0=10Hz2、周期信号的付里叶级数-3由上例可以看出f(t)可以由

12、f1(t)，f2(t)，f3(t)经过线性叠加得到。如果将f1(t)，f2(t)，f3(t)看做基本信号，则f(t)包含1份f1(t)，2份f2(t)，3份f3(t)，这对于分析f(t)的性质是很有好处的。是不是任何信号均可以由一系列基本信号经过线性叠加得到呢？2、周期信号的付里叶级数-42、周期信号的付里叶级数-5基本函数的选择：正交的三角函数集2、周期信号的付里叶级数