矩阵特征值和特征向量的计算

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1、第七章矩阵的特征值与特征向量的计算自然科学和工程技术中的许多问题，如振动问题（桥梁或建筑物的振动、机械振动、电磁振动等），物理学中某些临界值的确定等，常常要归结为求矩阵的特征值和特征向量，即求满足的数λ和非零列向量x其中数λ称为A的特征值，非零列向量x为A的与特征值对应的特征向量，计算n阶矩阵A的特征值，就是求特征方程的非零解，而齐次线性用求解线性方程组的方法去求矩阵A的特征值只适用于低阶矩阵。当矩阵阶数较高时，计算稳定性较差，因此，必须寻求一些在计算机上计算矩阵的特征值和特征向量的较为稳定的数值方法。方程组的非零解xi就是λi对应的特征向量。幂法是求实矩阵A的主特征值（即矩

2、阵A的按模最大的特征值）及其对应特征向量的一种迭代方法。幂法幂法的基本思想：任取一个非零初始向量x(0)，由矩阵A构造一个向量序列x(0)，x(1)，x(2)，…，x(k)，满足以下条件上述向量称为迭代向量，因为各特征向量是线性无关，所以初始向量x(0)可表示为矩阵A的特征向量vi的一个线性组合，即并假定α1≠0，于是（7-1）下面分几种情况讨论：1．A有一个主特征值λ1，即当k充分大的时候，即由上面的讨论，得表示向量x(k)的第i个分量因此Akx(0)可近似的表示矩阵A与λ1对应的特征向量（特征向量可以相差一个常数因子）。当k很大时，2．A的主特征值是二重根，3.两个主特征

3、值互为相反数，当k充分大时，例：用幂法计算矩阵的主特征值及其对应的特征向量。解：取x(0)=[1，1，1]T，由迭代向量进行计算，计算结果如下：k1234567Akx1(0)1262068232792Akx2(0)1-2-8-28-96-328-1120Akx3(0)1262068232792由上表可算得可见第一个分量已趋于稳定，而对于第2、第3个分量：由此可得λ1≈3.41，因为A7x(0)=(792，-1120，792)T。而特征向量可相差一个常数因子，所以取与主特征值λ1相对应的特征向量为讨论：可以看出，当时，Akx(0)的分量会趋于无穷大；当时，Akx(0)的分量又会

4、趋于零，因此在实际计算中需要做适当的规范化，避免发生计算机的上溢和下溢现象。幂法的收敛速度，虽然和初始向量x(0)的选取有关，但主要取决于比值的大小。由作业补充题：取x(0)=[1,0]T，用幂法计算矩阵的特征值和特征向量。