矩阵的特征值和特征向量

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1、第五章矩阵的特征值和特征向量来源：线性代数精品课程组   作者：线性代数精品课程组1．教学目的和要求：(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3)了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2．教学重点：(1)会求矩阵的特征值与特征向量.(2)会将矩阵化为相似对角矩阵.3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.                §1矩阵的特征值和特征向量 定

2、义1 设是一个阶方阵，是一个数，如果方程                                                              (1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．  （1）式也可写成，                                                          (2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式                        ,                                   (3)

3、 即                               上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．     ==           =显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（ⅰ）（ⅱ）若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：    第一

4、步：计算的特征多项式；    第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；    第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：                     的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是         　　（其中是不全为零的任意实数）．例1　求的特征值和特征向量.解 的特征多项式为=所以的特征值为    当=2时，解齐次线性方程组得解得令=1，则其基础解系为：=因此，属于=2的全部特征向量为：.当=4时，解齐次线性方程组得令=1，则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由

5、特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值. 例2　求矩阵         的特征值和特征向量.解的特征多项式为         ==，所以的特征值为==2（二重根），.对于==2，解齐次线性方程组．由       ，得基础解系为：   因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.对于，解齐次线性方程组．由        ，        得基础解系为：因此，属于的全部特征向量为：由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中

6、有很重要的作用．对此我们给出以下结论： 定理1　属于不同特征值的特征向量一定线性无关.证明　设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.当＞1时,假设时结论成立.由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此              　　　　  如果存在一组实数使                                          (3)则上式两边乘以得                                   (4)另一方面,      ,即         

7、                          (5)(4)－(5)有    由归纳假设, 线性无关,因此             而互不相同,所以．于是(3)式变为.因,于是．可见线性无关．课后作业：习题五　５－12 §２ 相似矩阵 定义2 设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵，使得                   　　　则称与相似，记作，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：⑴反身性：～；⑵对称性：若～