矩阵的Kronecker积与Hadmard积

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1、第6章矩阵的Kroneker积和Hadamard积TheKronekerProductandHadamardProduct概述：内容：介绍Kronecker积和Hadamard积讨论K-积，H-积的运算性质、之间的关系K-积与矩阵乘积的关系K-积，H-积的矩阵性质K-积的矩阵等价与相似关系介绍应用向量化算子重点：K-积及其应用61Kroneker积和Hadamard积的定义定义6.1（P.136）设矩阵A=[aij]mn和B=[bij]st矩阵，则A,B的Kronecker被定义为AB：AB=[aijB]mn设A=[ai

2、j]mn和B=[bij]mn为同阶矩阵，则A和B的Hadamard被定义为AB：AB=[aijbij]mn例题1设，计算AB，BA，IB，AB，IAK-积，H-积的基本结果：A和B中有一个为零矩阵，则AB=0，AB=0II=I，II=I若A为对角矩阵，则AB为分块对角矩阵，AB为对角矩阵。K-积的基本性质定理6.1（P.138）设以下矩阵使计算有意义，则（kA）B=A（kB）A（B+C）=AB+AC（AB）C=A（BC）（AB）H=AHBHABBAH-积的基本性质：设A，B

3、为同阶矩阵，则AB=BA（kA）B=A（kB）A（B+C）=AB+AC（AB）C=A（BC）（AB）H=AHBHKronecker和Hadamard的关系：定理6.3（P.139）K-积与矩阵乘法定理6.2（P.138）设矩阵A，B，C，D使得下列运算有意义，则有(AB)(CB)=（AC）（BD）意义：建立Kronecker积和矩阵乘法的相互转换。特别情形：设AFmm，BFnn，则AB=(ImB)(AIn)=(AIn)(ImB)6.2Kronecker积和Hadamard积的性质Kr

4、onecker积的矩阵性质定理6.4（P.140）设矩阵使下列运算有意义，则当A，B分别为可逆矩阵时，AB为可逆矩阵，而且有(AB)–1=A–1B–1当方阵AFmm，BFnn时，方阵ABFmnmn的行列式为

5、AB

6、=

7、A

8、n

9、B

10、m若A，B是Hermite矩阵，则AB是Hermite矩阵若A，B是酉矩阵，则AB是酉矩阵。Kronecker与矩阵等价、相似关系定理6.5（P.141）设矩阵A，B，为同阶的等价矩阵，则(AI)等价于(IB)设方阵A相似与JA，方阵B相似于JB，则(AB)相似于(JAJB

11、)K-积特征值和特征向量定理6.6（P.142）设AFmm的特征值特征向量分别是i，xi，BFnn的特征值、特征向量分别是j，yj，则(AB)的特征值是ij。特征向量是(xiyj)。(AI)+(IB)的特征值是i+j，特征向量是(xiyj)更一般的结果：定理6.7（P.142）的特征值为Kronecker的函数性质定理6.8（P.143）设是f(z)解析函数，f(A)有意义，则f(IA)=If(A)f(AI)=f(A)I特例：例题1设AFmn，BFst，证明rank（AB）=rank（

12、A）rank（B）例题2（P.144），设，求(AB)的特征值和特征向量求[(AI)+(IB)]的特征值和特征向量例题3：证明对任何方阵，有6.3矩阵的向量化算子和K-积向量化算子Vec定义（P.143）设A=[aij]mn则Vec(A)=(a11a21…am1；a12a22…am2；…；a1na2n…amj)T性质：（P.146）Vec是线性算子：Vec（k1A+k2B）=k1Vec(A)+k2Vec(B)2定理6.10（P.146）Vec(ABC)=(CTA)VecB3Vec(AX)=(IA)VecX4Vec(XC)

13、=(CTI)VecX用向量化算子求解矩阵方程组思想：用Vec算子，结合Kronecker积将矩阵方程化为线性方程组求解。1、AFmm，BFnn，DFmn，AX+XB=D分析：AX+XB=D（IA+BTI）VecX=VecDG=（IA+BTI），方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即A和-B没有共同的特征值。例题1（P.147）用向量化算子求解矩阵方程组2、A，XFnn，AX-XA=kX分析：AX-XA=kX（IA–ATI）VecX=kVecXH=（IA–ATI)，方程(kI-H)y=0有非零解

14、的充要条件是k为H的特征值，k=ij。例题2求解矩阵方程AX–XA=–2X用向量化算子求解矩阵方程组3A，B，D，XFnn，AXB=D分析：AXB=D（BTA）VecX=VecDL=BTA，方程有惟一解的充要条件是L为