关于矩阵的Kronecker积的一些性质

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1、万方数据2010年12月第25卷第4期山东师范大学学报(自然科学版)JournalofShandongNormalUniversity(NaturalScience)Dec．2010V01．25No．4关于矩阵的Kronecker积的一些性王秀清陈兆英于朝霞(济南大学理学院，250022，济南)质摘要在矩阵的Kronecker积的相关性质的基础上，笔者较系统地论述了关于幂等矩阵、非负矩阵、卜三角阵、正规矩阵、反Hermite矩阵等的Kronecker积的相关性质，探讨了关于Kronecker积的迹数、正定性、相似性、共轭合同等同题以及Kronecke

2、r积的广义逆的运算法则．关键词Kronecker积；反Hermite矩阵；共轭合同；相似矩阵；矩阵的Moore—Penrose逆中图分类号0151．21文献标识码Adoi：10．3969／j．issn．1001—4748．2010．04．043矩阵的Kronecker积是一种重要的矩阵乘积，矩阵的Kronecker积不仅在矩阵的理论研究和计算方法有着广泛的应用，而且在工程技术领域(如信号处理)与系统理论中的随机向量过程分析等中也是一种基本的数学工具．笔者将较系统地论述一些矩阵的Kronecker积的运算规则和性质．1预备知识定义I¨1设A=(％)。。

3、。Ecm“，口=(6i)，。。∈cP”，则称如下的分块矩阵，，吐ll曰口12曰⋯ⅡI。曰、螂：PI口22．¨_：日I∈∥x—I：：：lL口。lBa,,aB⋯n。B／为A与曰的Kronecker积．由分块矩阵理论，A与B的Kronecker积是一个m×n块的分块矩阵，简记为(口。B)∈c”。”．从Kronecker积的定义不难发现，Ao口与BQA是同型矩阵，但它不满足交换律，即AQB#BQA．矩阵的Kronecker具有下列基本性质⋯：性质1设k为常数，则有k(A@口)=(棚)o曰=Ao(kB)．性质2设A。与A2为问型矩阵，则(AI+A2)@B=A。

4、o占+A20B，日o(Al+A：)=BoA。+BOA2．性质3(A@B)7=A7@曰7，(Ao曰)“=A“@∥．性质4设A=aF)。。。∈C““，B=(6≯)，。。E俨“，C=(c，)。Ec，“，则(A④曰)oC=Ao(BOC)．性质5设A∈C”“，B∈酽“，C∈Cn“，D∈Cq“，则(AoB)(CoD)=(AC)o(8D)．性质6设A∈c：“，B∈C：“，则A08也是可逆的，且(AOB)’。=A。10B一．定义2设A=(a。)。。。∈C”“，若A2=A，称A为幂等矩阵．定义3⋯设A=(口“)。。。∈c”“，如果X∈C““满足下列四个Pera'ose

5、方程：1)AXA=4，2)XAX=Z，3)(AX)”=AX，4)(XA)8=XA，则称x为A的Moore—Penrose逆，记为A+．定义4设AEC““的所有特征值为A。，A：，⋯，A。，则称A的所有特征值的和为A的迹，记为tr(A)，即‘tr(A)：Al+A2+⋯+A。．引理1【23设A∈C”“的所有特征值为A。，A：，⋯，A。，BEC““的所有特征值为p。，舰，⋯，弘。，则A@B的所有特征值为A舭f；(i=1，⋯，m；j=1，⋯，n)．2主要结论定理l1)设AEc““，B∈口“，则(Ao占)‘=(A‘O∥)，其中k为非负整数，特别地，若A、B都是

6、幂等矩阵，则A@B收稿H期：2010—10—25。+山尔省优秀中青年科学家奖励基金资助项目(BS2009SF021)；山东省教育厅教研项目(SDYY08029)；济南大学校级科研项目(XKY0808)．147万方数据第25卷山东师范大学学报(自然科学版)第4期也是幂等阵．2)设A=(口g)。。。，B=(b)，，。是非负矩阵，则AOB也是非负矩阵．共^个AoB证1)由性质4和性质5得(^oB)‘=iA@B)(a08)⋯(4@曰j=(A‘O酽)，当』4、口都是幂等矩阵时，(AOB)2：(∥o∥)=A@且下面再证明2)．由于A∈矿“，BECp”是非负矩阵，

7、故％I>0，Vi=1，2，⋯，，，lJ=l，2，⋯，n；bF≥o，Vi=1，2，⋯，pJ=l，2，⋯，g．由定义1，a08=(q)m。w，。F≥o，Vi=l，2，⋯，7印√=1，2，⋯，M，即A⑧占也是非负矩阵．定理21)设AEr“，BEC““，则IAO引=IA川Bl“；2)设A∈C““，BEr“，则AoB可逆的充分必要条件是A，B都可逆．证1)设A∈cm“的所有特征的值为A，，A：，⋯，A。，B∈r”的所有特征值为M，如，⋯，p。，由行列式与特征值的关系知，IAO引等于它的所有特征值的乘积，据引理l知，A④曰的所有特征值为A她(i=l，⋯，m√=1

8、，⋯，，1)，故Ao曰

9、-玎(nA鹅)=玎(A?兀心)=(兀A?)(兀一)“=IA⋯”．2)由上面1)知IA