平差数学模型与最小二乘原理

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1、测量平差太原理工大学测绘科学与技术系第二章平差数学模型与最小二乘原理§1测量平差概述§2测量平差的数学模型§3函数模型的线性化§4最小二乘原理§2-1测量平差概述在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。测量平差概述在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多的是通过测

2、定其它一些量来间接求出。如根据一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。测量平差概述在测量工作中，并不是对模型中的所有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个，当观测值个数小于必要观测个数，即n

3、该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现。为了能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性，通常使观测值个数大于必要观测个数，即使n>t，设：r=n-t式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为多余观测个数，在统计学中也叫自由度。测量平差概述有了多余观测，观测值之间必然不能满足理论上的条件方程，即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于几何模型。为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值（又叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值。任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测值，是由观测值加上改正数而得到

4、，观测值的改正数，它们必须在计算之前被计算出来。但这种改正数有无数多组（如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角度讲，只有一组改正数能得到最优解。为求唯一的一组最优改正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。§2-2测量平差的数学模型在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些几何量的大小等有关数量问题，因此，常考虑如何建立相应的数学模型及如何解算这些模型。由于测量观测值是一种随机变量，所以，平差的数学模型与传统数学上的模型不同，它不仅要考虑描述已知量与待求量之间的函数模型，还要考虑随机模型，

5、在研究任何平差方法时，函数模型和随机模型必须同时予以考虑。函数模型1.条件平差法2.附有参数的条件平差法3.间接平差法(参数平差法)4.附有限制条件的间接平差5.附有条件的条件平差（综合平差模型）1.条件平差法一般而言，如果有n个观测值，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程，即如果条件方程为线性形式，则可以直接写为将代入，并令则上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。2.附有参数的条件平差法在平差问题中，设观测值个数为n，必要观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为未知参

6、数，且0

7、参数，即u=t（这是独立参数的上限），那么通过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型，换句话说，模型中的所有量都一定是这t个独立参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t个独立参数的函数。选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。3.间接平差法(参数平差法)一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，u=t，则总共应列出c=r+u=n个函数关系式，其一般形式

8、为如果这种表达式为线性的，一般为将代入上式，并令则上式就是间接平差的函数模型。4.附有限制条件的间接平差如果在某平差问题中，选取u>t个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必定