平差数学模型与最小二乘原理

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1、误差理论与测量平差基础测绘工程学院鲍建宽第4章平差数学模型与最小二乘原理第四章平差数学模型与最小二乘原理本章教学内容4-1测量平差概述4-2函数模型4-3函数模型的线性化4-4测量平差的数学模型4-5参数估计与最小二乘原理4-6综合练习题要求：掌握各类控制网必要元素的数目与类型和多余元素数的计算方法；平差数学模型的概念、最小二乘原理及其应用重点：必要起算数据、必要观测个数的确定；平差的数学模型及其线性化方法；最小二乘法第四章平差数学模型与最小二乘原理§4-1测量平差概述测量的目的：确定某些几何量的

2、大小确定相应的几何模型*注*确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通过它们来确定。一、确定模型的必要元素１、必要元素（量）：能够唯一确定一个几何模型所必须知道的元素。其个数用tm表示必要元素的获取途径：本次测量值、往次测量成果*注*例1：确定三角形形状与大小，只需知道其中任意的两角一边、两边一角或三边三个量就可以了。必要元素的个数tm只取决于模型本身，个数与类型所有的必要元素都是彼此函数独立的量，不能互替模型中所有的量都是必要元素的

3、函数模型中作为必要元素的“量”不是唯一的3、必要起算元素或配置元素：在唯一确定一个几何模型的tm个必要元素中，不能通过本次测量作业测定的量。其数目用t0表示。可见有：tm＝t＋t02、必要观测量（元素）：为了能够唯一确定一个几何模型所必须测量的元素。其个数用t表示，称为必要观测个数。*注*　必要观测量的类型，与测量技术与设备有关。在同一模型中，有些量当前测量不了例2确定三角形形状和大小，tm＝3，如果只测角度，则t=2,t0=1：若只测边，t=３，t0=０4、多余观测元素(量)：为及时发现测量中的

4、错误，除必要观测量外还要观测的其它量。其个数用r表示，称为多余观测个数5、观测值总数用n表示,r=n-t在一个几何模型中，除tm个独立量外，若再增加一个量，在必然要产生一个相应的函数关系式。如（例１）中增加为3个角度，则——条件方程§4-1测量平差概述二、多余观测与条件方程*注*一个几何模型中，如果有r(＝ｎ－ｔ)个多余观测，就产生r个条件方程。可见，在列条件方程前，先确定必要观测数t＝tm－t0由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成上述条件方程必不能满足，即造成条件方程不闭合，或者说存在

5、闭合差。由于则有——条件方程求出一组真误差(改正数)，消除闭合差→平差~~~§4-1测量平差概述三、常用测量控制网必要观测个数的确定1．测站方向观测●目的：确定各个目标的方向（方位）●观测值（量）：角度●必要起算元素：一边的方位角t0=1*若没有已知方位角，可以假设一边的方位角●必要观测值个数：t=tm－t0=总方向数－1（－多余的起算元素个数）2.(平面)测角三角网目的：确定网中各点在坐标系中的坐标观测值(量)：网中各内角的角度必要起算元素：一点坐标、一边方位和边长，等价于两点坐标。t0=4*若

6、没有已知点和已知方位，可以假设必要观测数：t=2×(总点数－2)－多余的起算元素个数“Δ”表示坐标为已知的固定点；“O”表示待定点;双线表示已知边，虚线表示没观测3.(平面)测边三角网目的：确定网中各点的坐标观测值(量)：网中各点间距离必要起算元素：一点坐标、一边方位，t0=3*若没有已知点和已知方位，可以假设必要观测值个数：t=2×总点数－3－多余的起算元素个数4.(平面)边角三角网目的：确定网中各点的坐标观测值(量)：网中的角度和边长必要起算元素：一点坐标、一边方位，t0=3若没有已知点，可以

7、假设一点坐标、一边方位必要观测值个数：t=2×总点数－3－多余的起算元素个数5．高程控制网（水准网）目的：确定网中各点的高程观测值(量)：网中两点间的高差必要起算元素：一点的高程，t0=1*若没有已知点，可以假设一点的高程必要观测值个数：t=总点数－1－多余的起算元素个数常用控制网的必要起算数据个数与类型控制网必要元素个数必要起算数据个数与类型(确定网的位置、方向、尺度）水准网点数t0=1一个点的高程测角三角网点数×2t0=4一个点的坐标、一边边长和方位角⇦⇨两个已知点测边三角网点数×2t0=3一

8、个点的坐标、一边方位角边角三角网点数×2t0=3一个点的坐标、一边方位角据起算数据情况，把控制网分为：自由控制网：不足或仅有必要的起算数据附和控制网：有多余的起算数据§4-1测量平差概述四、计算t和r的例题1．水准网2.测角网(a)(b)多余观测个数：r=n-t当n＜t时，不能确定平差问题的模型n=t时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知n＞t时，有多余观测，因观测误差使观测值间产生矛盾，使模型出现多解。通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一