等价关系与集合分类

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1、第10节等价关系与集合分类第4讲一、集合的分类例1设整数集可知，是整数集的一些子集，并具有以下特征：（1）（2）（3）这三条性质说明，整数集恰好被分成一些（四个）两两不相交的非空子集的并，这里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组成。一般的，任取一个正整数，都能将成个两两不相交的非空子集的并，使得每个子集恰好是由除以余数相同的整数组成的。则被分解成偶数子集和特别地，取奇数子集的并。分解例2设是矩阵组成的集合，令易知，的这三个子集满足以下特征：（1）（2）（3）上一切二阶说明：二阶矩阵集恰好被分成三个两两不相交的非空子集并，而每个子集恰好是由秩相同的二阶方阵

2、组成的。定义设为任一个集合，而是的一些其中是指标集，如果（2）（3）则称是的一个分类,而中每个元素都叫做在下的一个类.的一些子集组成的集合，（1）例1中，的分类使在同一类里的整数除以4之后余数都相同，而分在不同类里的整数除以4后，得到的余数也必然不同.之下，同一类的二阶方阵秩数都相同，而分在不同类里的二阶方阵，其秩数不然不同.在分类例2中，注意：可以看出，对每一个确定的分类来说，凡是分在同一类里的元素都具有某种共同的性质，而分在不同类的元素所具有的这种性质也必不同。“同类元素都具有某种关系，不同类的元素一定没有这种关系”这种看法所指的“某种关系”完全由具体

3、的集合、具体的分类所内定的，决不会千篇一律地都是“差被4整除”这种关系，比如例2.但不管上述谈到的“某种关系”具体怎样，一般来说，集合的任何一个分类都是利用元素间的“某种关系”而得到的.这就是下面要讨论的问题:二、等价关系定义设为集合，{对，错}，那么由上述定义知，中任一对元，都可以判定是否符合这个关系.到的每个映射就叫做的一个关系（也称为二元关系）.若，就称与符合关系若，就称与不符合关系，记为，记为；例3在中，定义“大于”关系“整除”关系“不互素”关系在中，定义例4（实际上，就是例2中的“秩相等”的关系）例5设M是整数集，规定不是整数集的关系.上述的例子

4、分析可知：不是用一个二元关系都能给确定一个分类；是需要具有特殊性质才行.的任何也就是说，能够给集合确定分类的二元关系为此，我们必须研究下列特殊的二元关系:定义如果～具有以下三种性质：2.对称律（对称性）：3.推移律（传递性）：时，习惯称设～是集合上的二元关系，1.反射律（反身性）：当时必有当时必有且那么关系～叫做与等价.上的等价关系.并且当定理1：集合A的每个分类都决定了A的一个等价关系.证明：设是的一个分类，用规定上一个二元关系：显然～是的一个关系，须证～是等价关系.反身性：2.对称性：若我们可以在同一类里3.传递性：若，由分类的特性知综上，证得～是等价

5、关系.定理2集合A的任一个等价关系～都可确定A的一个分类.证明：令，如此确定的这些子集具有：(1)（2）当a与b不等价时：，由～的对称性和传递性知，推出矛盾，所以.若（3）的一个分类.注意：（1）（2）若定义设是上等价关系～确定的分类，，并称为的关于等价关系～的商集.习惯上记因为，那么每个一个代表,而每类的一个代表组成的集合叫做叫做这个等价类的叫做A的一个等价类，而A的一个全体代表团.等价类与其代表元素的选取无关一种重要的等价关系——同余关系任取，可以在中确定一种等价关系则称为模的同余关系，并将记为由同余关系确定的分类中的类为模的剩余类.而由同余关系引导出

6、来的商集习惯上记为.（要求熟练掌握）例6设试确定集合上的全部等价关系.解由定理知，只要求出的全部分类,也即求出的所有可能的子集划分即可．(1)如果分划为一个子集,则有;(2)如果分划为两个子集,则有3种分法(3)如果分划为三个子集,则有因此,上共有五个不同的等价关系,它们是注如果用表示一个具有个元素的集合上的不同等价关系的个数,则有下列的递推公式:其中,为二项式系数,并规定Thanksamillion