邓正华高数基础02第二讲导数及其应用

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1、第二讲导数及其应用考纲要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数.会求隐函数和由参数方程确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理,了解并会用柯西（Cauch

2、y）中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数的极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单的应用.8.会用导数判断函数图形的凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线.9.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.一、导数与微分问题1叙述导数、微分的定义与几何意义答1.导数的定义函数在点处的导数.函数在点处左导数，函数在点处右导数，函数在点处可导；导数的几何意义：若函数在点处可导，则表示曲线在点（其中）处的切线的斜率，曲线在点处的切线的方程为.2.微分的定义设，如果，则称函数在点可微，并称为在点的微分.

3、当在点可微时，有.当是曲线上的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上的点的纵坐标的相应增量.353.函数在点处有极限、连续、可导、可微的关系是有极限连续可导可微例1.函数在点处可导与极限存在有何关系？2.函数在点处可导与极限存在有何关系？问题2如何求曲线的切线？答关键是求出切点和斜率.例1.曲线上与直线垂直的切线方程为.（，04-1）2.设函数由方程所确定，则曲线在点处的切线方程为.（，03-2）3.设在连续，且，则曲线在点处的切线方程为.【】问题3叙述求导公式与法则.答1.基本初等函数导数公式（16个）⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃2.求导法则定理1（函数的四则运算的求导法则）设在点

4、可导，则它们的和、差、积、商在点可导，且35⑴；⑵；⑶；⑷，()定理2（反函数的导数）若函数在区间内单调可导，且导数，则它的反函数在对应区间内单调可导，且.定理3（复合导数求导法则）若在点处可导，在点处可导,则复合函数在点处可导，且.注使用复合函数求导法则的步骤：⑴将函数读作的基本初等函数；⑵对求导，乘以对的导数.定理4（莱布尼茨公式）.问题5如何求各类函数的导数（或者微分）答求导运算是最基本的运算，也是考试中涉及最多的运算，读者必须熟练掌握求导公式、求导法则（四则运算法则、复合函数求导法则）以及各种函数的一、二阶导数的求法：⑴初等函数（正确使用求导公式与法则）⑵分段函数（分段点必须用

5、定义求导）⑶隐函数（两边求导法、公式法）⑷参数方程确定的函数（利用导数公式：，）⑸抽象函数（正确使用导数记号，注意和的区别）⑹幂指函数（对数求导法）⑺反函数（导数公式：）35例1.，求.()解【熟练掌握复合函数求导法则】，，，故.2.设，则.解，.3.设，求.解【用两边求导法】方程两边对求导，得⑴将代入⑴，得；⑴式两边对求导，得，⑵将代入⑵，得..4.设由所确定，求.解【用隐函数求导公式】由确定，35.5.设二阶可导，且，，求.解【用参数式求导公式】，.6.设与互为反函数，且三阶可导，试用表示.解【利用反函数求导公式和复合函数求导法则】，上式两边对求导，；上式两边再对求导，.7.已知函

6、数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求，.（07-2）解，，方程两边对求导，得，⑴将代入⑴式，得⑴式两边对求导，得35，⑵将代入⑵式，得，故，.问题6如何求分段函数的导数答分段函数的导数是重点，也是常考点，读者务必通过例题熟练掌握分段函数的求导方法，切记分段函数分段点必须用定义求导.例1.设，其中在上具有二阶连续导数，且，求并讨论的连续性.解时，；，故在连续，又在连续，所以在上连续.2．设在连续，讨论在处的可导性.3．设在上有定义，且，，且有，问为何值时，在处可导？问题7哪些情形要用定义求导？答除了分段函数分段点必须用定义求导外，某些抽象函数也必须用定义求导.此外，求某些初等函数

7、在一点处的导数，用定义求导较为简单.例1.设，则.35【100!】2.设恒成立，，则.【】3.设在有定义，，且，有，求.【】解，，，又，故.问题8如何求函数的阶导数？答求阶导数的方法有⑴归纳法依次求出，等，观察其规律，写出；⑵分解法将函数分解为某些简单函数之和；⑶用莱布尼茨公式求乘积的阶导数；⑷用泰勒公式求.例1.设，求.【】2.设，求.【】问题9如何判别函数的单调性？答根据函数单调性判别法知，函数单调区间的分界点是其导函数的零点（称为函数的驻