巧用圆系方程_简化解题过程

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1、巧用圆系方程简化解题过程四川省眉山中学校谢维勇在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： 　　⑴以为圆心的同心圆系方程 　　 　　⑵过直线与圆的交点的圆系方程 　　 　　⑶过两圆和圆的交点的圆系方程 　　 　　此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 　　当时，得到两圆公共弦所在直线方程 　　 　　为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程 　　 　　在遇到过直线与圆，圆与圆交点的圆有

2、关问题时，灵活选取上述各种圆系方程，可简化繁杂的解题过程。现不妨举两例简要说明。 　　例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 　　分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 　　解：过直线与圆的交点的圆系方程为： 　　，即 　　………………….① 　　依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 　　又满足方

3、程①，则 　　故 　　例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 　　分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。 　　解：圆和的公共弦方程为 　　，即 　　过直线与圆的交点的圆系方程为 　　，即 　　依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 　　代回圆系方程得所求圆方程 　　

4、总之，在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。