《积分变换》PPT课件

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1、积分变换1引言在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采取变换手段两个数相乘对数变换坐标变换有割痕的半平面--映射2积分变换是指通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。3积分变换在一定条件下是一一对应的，其中一个最主要的应用就是解微分方程。基本思想：从原方程中求解非常困难，但通过积分变换后的函数比较容易求解，这样再通过积分逆变换求出原方程的解。最常用的积分变换是：Fourier变换;Laplace变换.4第一章Fourier变换1.0傅里叶(Fourier)级数利用三角函数的周期性来展开周期函数函数和级数并不

2、完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致。5最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.----Fourier级数方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近6回忆：78复指数形式的Fourier级数利用Euler公式代入三角形式的Fourier级数，得Fourier级数的复指数形式或者写为91.1Fourier积分对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),

3、使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有10{Ow1w2w3wn-1wn{w1112更严格的说，有如下Fourier积分定理：Fourier积分定理则有13也可以转化为三角形式14又考虑到积分15奇、偶函数的傅里叶积分偶函数奇函数1617例1.矩形脉冲函数为1-1otf(t)118其Fourier积分表达式方法一：根据Fourier积分公式的复数形式当时，应以代替

4、19方法二：根据Fourier积分公式的三角形式来计算；由于f(t)是偶函数，还可以根据Fourier余弦积分公式获得结果。20由结果可得21据此可以看出，利用Fourier积分表达式可以推证一些广义积分的结果.这里，当时，有这就是著名的Dirichlet积分.22