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《差异、正难则反(四)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8差异分析策略任何数学问题都存在不同形式的差异，没有差异就无须解题，解题过程实质上就是不断寻找差异和不断消除问题的条件和解题目标之间的差异、逐步达到条件与结论和谐统一的转化过程。我们在解题时常常会碰到题目的条件与结论间在其形式、结构、图形或数字间存在着差异。实践告诉我们，学生解题失败的一个重要原因，就是碰到一个问题时不知从何处着手，实质是找不到题中应消除的差异，使思维无法展开。若将条件与结论间的差异称之为目标差,那么我们解题的关键就在于设计一个使目标差不断减小的方案。发现了题中隐含的主要差异，思维就有了起点，解题就可找到突破口。在使用
2、差异分析策略解题时寻找差异是基础消除差异是目标转化差异是关键所谓差异分析策略,就是通过分析条件和结论之间的差异,并不断减少目标差(条件与结论之间的差异)来完成解题的策略。差异分析是证明三角恒等式问题的常用技巧。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，达到和谐统一美。“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是
3、我们常用的变形技巧。分析左边是和的形式,右边是乘积的形式;左边是单角,右边是半角;左边是正弦,右边是余弦.如果由左边向右边转化,转化的手段是:和差化积和利用2倍角公式.在使用差异分析策略解题时,需要先找出差异，接下来，寻求二者之间的联系，在它们中间搭上一条解题的通道。这就需要我们针对具体的问题，不断地变换思维的视觉，纵横联系知识体系，全方位多角度的思考问题，以使“寻找差异、发现差异、消除差异”的解题方案快速形成。分析1求证不等式左、右两边存在的主要差异是：右边只有1个字母k,而左边出现6个不同于k的字母；左边是3项之和，右边只有1项。为
4、了消除这种差异，可考虑运用已知条件将k代换。分析2为了消除左、右两边的差异，先保持部分一致,再逐步缩小目标差。分析3：两个正数乘积的最简单的几何意义可看作是一个几何图形的面积．又有使我们联想到以k为边长的正三角形，构造几何图形如下：差异分析的各个方面不是孤立的,它们既有区别又有联系,有时在一个题目中就含有多方面的目标差,因此,在确定变换的方向和所用公式时,要以消除某方面的差异为主,同时兼顾其他方向差异的统一。可从消除角的差异切入，将条件角转化为结论角，即解：已知化为，，练一练《扬短避长》选自《读者》日本有一家企业，生产圆珠笔，其产品优势
5、是使用时间长。然而投放市场后销路并不好，原因在于圆珠笔芯中的油墨还没有使用完，笔芯上的圆珠就坏了。这显然是一个致命的质量问题。为此，厂家不惜重金请来许多对笔芯上的圆珠质量进行攻关。但是做了很多努力，效果都不理想，专家断言：只能改进到目前这种效果了。厂家万分苦恼，一筹莫展，圆珠笔生产陷入困境。后来，这家企业的一名普通的操作工竟然用一个极为简单的方法，轻而易举地解决了这个令许多专家都束手无策的难题。他只是将笔杆截去了一段。这样，笔芯上的圆珠报废时，油墨也正好使用完了。这家企业凭借这个简单和不可思议的办法走出了困境，赢得了广阔的市场空间。《扬
6、短避长》选自《读者》其实，这位工人与专家不同之处，就在于逆向思维。专家们把精力都习惯地集中在扬长避短上，所以久攻不克；这位工人的方法则是反其道而行之——扬短避长。数学问题千差万别、千变万化，如果拘泥于某几种习惯，是不会游刃有余的。解题时，人们思考的习惯大多是正面的，顺向的，可有些数学问题如果正面的、顺向进行，则难以解决，这时就应转为反面的、逆向思考，这就是正难则反策略。这种策略提醒我们，顺向推导有困难时就逆向推导，正面求解有困难时就反面求解，直接求解不奏效时就间接进行，肯定命题有困难时就转而举反例加以否定。这种逆反转换式思维实际上是一种
7、逆向思维，体现了思维的灵活性，也反映着数学问题因果关系的辨证统一。§9正难则反策略数学史上的无数事例，证实了正难则反的强大功效。具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、常量与变量的换位、公式定理的逆用、补集法等方法技巧都是正难则反策略的应用。通常包括逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等。正与反是矛盾对立的两个方面，在一定条件下相互转化。这是马克思主义哲学的基本原理。许多数学问题同样具备矛盾的两个方面，若能充分挖掘隐藏于问题之中或与之相关的特殊关系，利用数学命题间的等价关系，就能巧妙地使问题顺利获解。自从欧几里得的《
8、几何原本》问世以后，人们试图证明欧氏的第五公设（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）。然而，足足使一代又一代的一流数学家烦恼了两千多年之久，却仍以效果全无而告终。直到罗巴切夫斯基、鲍耶时代，他们在
