量子力学题解

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1、第五章微扰论5.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r、电荷均匀分布的小0球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对r

2、⎪Ze(r≥r)20⎪⎩4πε0rr0∞U(r)=−e∫Edr−e∫Edrrr022Zer0Ze∞1=−3∫rdr−∫2dr4πεrr4πεr0r000222Ze22ZeZe22=−(r−r)−=−(3r−r)(r≤r)303008πεr4πεr8πεr00000022⎧Ze22Ze⎪−3(3r0−r)+(r≤r0)Hˆ′=U(r)−U0(r)=⎨8πε0r04πε0r⎪0(r≥r)⎩02由于r很小，所以Hˆ′<

3、ea0）13πa0E(1)=ψ(0)*Hˆ′ψ(0)dτ1∫11∞2Z322−Zr0Ze22Zear2=[−(3r−r)+]e04πrdr3∫30πa08πεr4πεr00002Z−ra0∴r<

4、ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。�解：取ε的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为Lˆ2��1Hˆ=−D⋅ε=Lˆ2−Dεcosθ2I2Iˆ(0)12取H=Lˆ,Hˆ′=−Dεcosθ，则2I(0)Hˆ=Hˆ+Hˆ′由于电场较小，又把Hˆ′视为微扰，用微扰法求得此问题。Hˆ(0)的本征值为E(())=1ℓ(ℓ+1)ℏ2ℓ2I(0)本征函数为ψ=Y(θ,ϕ)ℓℓmHˆ(0)的基态能量为E（0）=0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知02H′(2)ℓ0E0=∑′(0)(0)ℓE0−Eℓ*(0

5、)(0)*H′=ψHˆ′ψdτ=Y(−Dεcosθ)Ysinθdθdϕℓ0∫ℓ0∫ℓm00*=−DεY(cosθY)sinθdθdϕ∫ℓm00*4π1=−DεYYsinθdθdϕ∫ℓm1034πDε*=−YYsinθdθdϕ∫ℓ0103Dε=−δℓ132H′D22IE(2)='ℓ0=−'ε⋅2δ2=−1D2ε2I0∑(0)(0)∑2ℓ12ℓE0−Eℓℓ3ℓ(ℓ+1)ℏ3ℏ#5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：E及E，现在受到微扰Hˆ′的0102作用，微扰矩阵元为H′=H′=a，H′=H′=b；a、b都是实数。用微1221

6、1122扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得(1)E=H′nnn2H′(2)'mnEn=∑(0)(0)mEn−Em(1)(1)得E=H′=bE=H′=b011102222H′a2(2)'m1E==01∑mE01−E0mE01−E022H′a2(2)'m1E02=∑=mE02−E0mE02−E01∴能量的二级修正值为2aE=E+b+101E−E01022aE=E+b+202E−E0201#5.4设在t=0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为εsinωt，ε及ω均为零；电离电子的波

7、函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为4µesℏω=hv=E−E=minmin∞122ℏ4−19µes13.6×1.6×1015v===3.3×10Hzmin2−342ℏh6.62×10②t=0时，氢原子处于基态，其波函数为1−r/a0φ=ek3πa0i��1p⋅r在t时刻，φ=()3/2eℏm2πℏ����eε⋅riωt−iωt微扰Hˆ′(t)=eε⋅rsinωt=(e−e)2iiωt−iωt=Fˆ(e−e)��ˆeε⋅r

8、其中F=2i在t时刻跃迁到电离态的几率为2W=a(t)k→mm1tiωmkt′a(t)=H′edt′m∫mkiℏ0Fmkti(ω+ω)t′i(ω−ω)t′=∫(emk−emk)dt′iℏ0Fei(ωmk+ω)t−1ei(ωmk−ω)t−1mk=−[−]ℏω+ωω−ωmkmk对于吸收跃迁情况