证明不等式的基本方法章末复习方案课件(人教A选修4-5)

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1、比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往

2、不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的

3、必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．[例4]若a，b，c为直角三角形三边，c为斜边．求证：a3＋b3＜c3.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是(

4、)A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是解析：上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法．答案：A解析：“xn＜xn＋1或xn＞xn＋1”的对立面是“xn＝xn＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．答案：B3．若a>0，b>0，则p＝aabb，q＝abba的大小关系是()A．p≥qB．p≤qC．p>qD．p答案：a≥

5、0，b≥0，a≠b三、解答题9．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0.故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立。10．已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，求证：

6、ac＋bd

7、≤1.法三(分析法)：要证

8、ac＋bd

9、≤1，只需证明(ac＋bd)2≤1.即只需证明a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.①由于a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，因此①式等价于a2

10、c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，②将②式展开、化简，得(ad－bc)2≥0.③因为a，b，c，d都是实数，所以③式成立，即①式成立．原命题得证．点击下图片进入: