《行列式展开定理》PPT课件

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1、数学科学学院陈建华线性代数1.3行列式展开定理例1.计算解:(化上三角形法)D－＝57复习?！本节内容余子式、代数余子式行列式按行（列）展开定理Laplace定理＊1.aij的余子式：在中划去元素aij所在的第i行和第j列元素，得到的n-1阶行列式。记作：Mij2.元素aij的代数余子式：例如，在中，M32＝Aij＝(－1)i+jMijA23=(-1)2+3M23=一、余子式和代数余子式二、行列式按某行(列)展开定理ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAina1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj行列思路:先证特殊情形再证一

2、般情形；一般情形的证明通过转化为特殊情形完成.证：①先证ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin②次证i行逐一向下交换经n－i次至末行j列逐一向右交换经n－j次至末列思路：化归为情形①＝(－1)i＋jaijMij＝aijAij＝(－1)i＋jaijMnn¢由①③最后证毕＝ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin由②例1.计算行列式解法1：化上三角形法解法2：降阶法D＝57=(-1)1+1=(-1)3+1利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行(列)化到只剩一非零

3、元时降阶处理.=10=(-1)2+2=5×(-1)2+3例2：计算例3计算行列式首列元素全是1,第一行乘以(－1)加到下面各行只能使下面元素变为0,其它元素却没有规律，不可取。[分析]利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其下行的(－1)倍,按首列展开后再使用该手法解：=(－1)n+1xn-2例4计算4阶范德蒙(Vandermonde)行列式[分析]相邻两行元素较接近!末行始,后一行加上其前行的(－x1)倍,a11下面元素都变为0,按首列展开，按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始,后一行加上其前行的(－

4、x2)倍，……解：=(x2－x1)(x3－x1)(x4－x1)(x3－x2)(x4－x2)(x4－x3)连乘积记号可以证明n阶“范德蒙行列式”3.推论:行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.第s行理解：第s行＝0ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0(i≠s)综合定理及推论得“代数余子式的重要性质”:a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0(j≠t)对于行列式的列，类似地有：行列例5设=0，计算A41+A42+A43+A44.=a31A41+a32A42+a33A43+a3

5、4A44分析:A41+A42+A43+A44巧用第3行的四个1[分析]注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理的推论,将A31+A32+A33与A34+A35分别看成整体，列方程组求解.解:，求(1)A31+A32+A33(2)A34+A35例6设a21A31+a22A32+a23A33+a24A34+a25A35＝0a41A31+a42A32+a43A33+a44A34+a45A35＝02(A31+A32+A33)+(A34+A35)＝0(A31+A32+A33)+2(A34+A35)＝0A31+A32+A33=0A

6、34+A35=0思考:如何求A41+A42+A43?解:例7设，计算A41+A42+A43+A44a31A41+a32A42+a33A43+a34A44＝0a41A41+a42A42+a43A43+a44A44＝DA41+A42+2A43+3A44＝02A41+2A42+3A43+4A44＝D两式相减得A41+A42+A43+A44＝D=6思考：其它解法A41+A42+A43+A441.几个概念(1)k阶子式：任选k行k列k阶行列式，记作M.(aij是行列式的一阶子式)(2)k阶子式的余子式：划去k阶子式所在的k行k列n－k阶行列

7、式，记M¢(3)k阶子式的代数余子式:三、拉普拉斯定理＊注2:行列式按行(列)展开是拉普拉斯定理k=1的情形2.拉普拉斯定理的所有k阶子式(共个)与各自的代数余子式的乘积之和等于D.即：行列式D中任意选定k行(1≤k≤n),这k行元素组成D＝M1A1＋M2A2＋…＋MtAt()注1:拉普拉斯定理是将行列式按某k行(列)展开例8用拉普拉斯定理计算行列式解：＝1×(－3)＋(－15)(－1)(－4)＋(－9)(－8)＝9例9计算行列式解：法二按第五列展开后再按第一列展开(教材例1-11,P17)法一按三、四、五行展开=﹣1080应用拉

8、普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论:按前k行展开讨论完成乘法公式设则(证明见2.3节，p55-56)作业:P21习题1.31,2,3,4备用题例计算解:从而解得解析几何中的行列式范德蒙法国数学家，就对行列式本身而言，他是这门理论的奠基人．在行列式