§3-行列式的展开定理.ppt

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1、§2行列式的性质与计算§1行列式的定义§3行列式展开定理、克拉默法则第一章行列式一、余子式、代数余子式二、行列式按一行（列）展开法则§3行列式展开定理、克拉默法则三、克拉默法则§3行列式展开定理、克拉默法则引例可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示．一、余子式、代数余子式定义在n阶行列式中将元素所在的第i行与第j列划去，剩下个元素按原位置次序构成一个阶的行列式，称之为元素的余子式,记作．令称之为元素的代数余子式．注：①行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式．无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．②元素的余子式和代数余子式与　的大小例如元

2、素除外都为0，则1.引理二、行列式按行(列)展开法则若n阶行列式D=中的第i行所有例如证：先证　　　　的情形，即由行列式的定义，有结论成立.一般情形：结论成立.例1.计算行列式解：2.定理行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或行列式按行（列）展开法则证：例2.计算n阶行列式解：考虑按照第一行或是最后一行或是最后一列展开例3.证明范德蒙行列式特点：1.第一行都是1。2.第二行是基本元素行。3.从第一行开始每一行是第二行的幂形式。先证明3阶范德蒙行列式证明证：用数学归纳法.时，假设对于阶范德蒙行列式结论成立．即结论成立．把从第

3、n行开始，后面一行减去前面一行的倍，得下证对于n阶范德蒙行列式　结论也成立.范德蒙行列式中至少两个相等．注：范德蒙行列式另一形式：第一节的例2：解方程例4.计算2n阶行列式其中未标明的元素都是0.解：3.推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证相同∴当时,同理可证,综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：代数余子式三种和形式比较定理推论2和3的解题思路：根据行列式D构造新的行列式。例5.设　　　　　　　　　求解：和自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组它的解也有

4、类似二元、三元一次线性方程组的结论.三、克拉默法则（Cramer,瑞士，1704~1752）定理如果线性方程组（1）的系数行列式则方程组(１)有唯一解（2）Cramer法则其中是把行列式中第列所得的一个n级行列式，即的元素用方程组（1）的常数项　　　　　代换注解1：克拉默(Cramer)法则中包含着两个前提和三个结论：前提：（1）线性方程组（1）中方程的个数等于未知量的个数；（2）线性方程组（1）的系数矩阵的行列式不等于零.结论：（1）线性方程组（1）有解；（2）线性方程组（1）的解是唯一的；（3）线性方程组（1）的解由公式（2）给出.例5用克拉默法则解

5、方程组解：方程组的系数行列式程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.另外,当方程组中方默法则求解.注解2：但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.注解3：8.（5）证明行列式解：另解1：数学归纳法另解2：根据最后一行降阶展开9.（1）计算行列式解：按照第一列降阶展开，原式=