高三二轮专题突破 专题三 第3讲推理与证明

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1、第3讲　推理与证明【高考考情解读】　1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某

2、些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：→→(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：→→2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是

3、由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为→→→…→(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为得到一个明显成立的条件→→→…→4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如图所示的框图表示．

4、5．数学归纳法数学归纳法证明的步骤(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论成立，证明n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，结论都成立．考点一　归纳推理例1　(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数　　　　　N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(

5、n,6)＝2n2－n………………………………………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.答案　1000解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，∴N(10,24)＝×100＋×10＝1100－100＝1000.归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(1)在数列{an}中，若a1＝2，a2＝6，且当n

6、∈N*时，an＋2是an·an＋1的个位数字，则a2014等于(　　)A．2B．4C．6D．8答案　A解析　由a1＝2，a2＝6，得a3＝2，a4＝2，a5＝4，a6＝8，a7＝2，a8＝6，…，据此周期为6，又2014＝6×335＋4，所以a2014＝a4＝2，故答案选A.(2)如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．a．每次只能移动一个金属片；b．在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)．则①f(3)＝________；②f(n

7、)＝________.答案　①7　②2n－1解析　①f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝2f(2)＋1＝7.②先把上面的n－1个金属片移到2号针，需要f(n－1)次，然后把最下面的一个金属片移到3号针，需要1次，再把2号针上的n－1个金属片移到3号针，需要f(n－1)次，所以f(n)＝2f(n－1)＋1，得f(n)＋1＝2[f(n－1)＋1]，故数列{f(n)＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以f(n)＋1＝2n，于是f(n)＝2n－1.考点二　类比推理例2　(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接