数值分析课件--第二章解线性方程组的直接方法

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1、第2章解线性方程组的直接法本章讨论n元线性方程组（2.1）的直接解法。方程组(2.1)的矩阵形式为Ax=b其中1课件若矩阵A非奇异,即det(A)≠0,则方程组(2.1)有唯一解。所谓直接解法是指，若不考虑计算过程中的舍入误差，经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法。但由于实际计算中舍入误差的存在，用直接解法一般也只能求出方程组的近似解。Cramer法则是一种不实用的直接法，下面介绍几种实用的直接法。§1Gauss消去法Gauss消元法是一种规则化的加减消元法，其基本思想是通过逐次消元计算，把一般线性方程组的求解转化为等价的上三角形方程组的求解。§1.1

2、顺序Gauss消去法为了清楚起见,先看一个简单的例子.考虑线性方程组2课件消去后两个方程中的x1得再消去最后一个方程的x2得消元结束,经过回代得解:3课件上述求解的消元过程可用矩阵表示为:(A,b)=这是Gauss消去法的计算形式,新的增广矩阵对应的线性方程组就是上三角形方程组,可进行回代求解。现在介绍求解线性方程组（2.1)的顺序Gauss消去法:记则,线性方程组(2.1)的增广矩阵为4课件第一步.设,依次用乘矩阵的第1行加到第i行,得到矩阵:5课件其中第二步.设,依次用乘矩阵的第2行加到第i行,得到矩阵:其中6课件如此继续消元下去,第n-1步结束后得到矩阵:这就

3、完成了消元过程。对应的方程组变成：对此方程组进行回代，就可求出方程组的解。7课件顺序Gauss消去法求解n元线性方程组的乘除运算量是：n2-1+(n-1)2-1+…+22-1+1+2+…+nn=20时,顺序Gauss消去法只需3060次乘除法运算.顺序Gauss消去法通常也简称为Gauss消去法.顺序Gauss消去法中的称为主元素.主元素都不为零矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.8课件§1.2主元Gauss消去法(用十进制四位浮点计算):(用Cramer法则可得精确解x1*=1.00010,x2*=0.99990)解用顺序Gauss消去法,消元得回代得解:x2=1.

4、00,x1=0.00若将方程组改写成:例1解线性方程组9课件用顺序Gauss消去法,消元得回代得解:x2=1.00,x1=1.00为了提高计算的数值稳定性,在消元过程中采用选择主元的方法.常采用的是列主元消去法和全主元消去法.给定线性方程组Ax=b,记A(1)=A,b(1)=b,列主元Gauss消去法的具体过程如下:首先在增广矩阵B(1)=(A(1),b(1))的第一列元素中,取然后进行第一步消元得增广矩阵B(2)=(A(2),b(2)).再在矩阵B(2)=(A(2),b(2))的第二列元素中,取10课件然后进行第二步消元得增广矩阵B(3)=(A(3),b(3)).

5、按此方法继续进行下去,经过n-1步选主元和消元运算,得到增广矩阵B(n)=(A(n),b(n)).则方程组A(n)x=b(n)是与原方程组等价的上三角形方程组,可进行回代求解.易证,只要

6、A

7、0,列主元Gauss消去法就可顺利进行.采用十进制四位浮点计算,分别用顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法求解线性方程组:例211课件方程组具有四位有效数字的精确解为x1*=17.46,x2*=-45.76,x3*=5.546解1.用顺序Gauss消去法求解,消元过程为回代得:x3=5.546,x2=100.0,x1=-104.012课件2.用列主元Gauss消去法求

8、解,消元过程为13课件回代得:x3=5.545,x2=-45.77,x1=17.46可见，列主元Gauss消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素.而全主元Gauss消去法是在每一步消元前,在所有元素中选取绝对值最大的元素作为主元素.但由于运算量大增,实际应用中并不经常使用.14课件§2直接三角分解法§2.1Gauss消去法的矩阵表示对矩阵若令记15课件则有A(2)=记令若则有16课件A(3)=如此进行下去,第n-1步得到:A(n)=其中17课件也就是:A(n)=Ln-1A(n-1)其中=Ln-1Ln-2A(n-2)=…=Ln-1Ln-

9、2…L2L1A(1)18课件所以有:A=A(1)=L1-1L2-1…Ln-1-1A(n)=LU而且有其中L=L1-1L2-1…Ln-1-1,U=A(n).L称为单位下三角矩阵;U是上三角矩阵.19课件式A=LU称为矩阵A的三角分解.§2.2Doolittle分解法设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU.证明只证唯一性,设有两种分解A=LU则有=E所以得于是Ax=bLUx=b令Ux=y得定理2.120课件下面介绍矩阵三角分解的Doolittle分解方法,则得对k=2,3,…,n,计算设akj=lk1u1j+lk2u