《课件函数单调性》PPT课件

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1、一、函数单调性及判别法定理1证应用拉氏定理,得例1讨论函数的单调性.又解在内，函数单调减少；在内，函数单调增加.注：函数的单调性是一个区间上的性质，完数在这一区间上的符号来判定，的导数符号来判别一个区间上的单调性.要用导而不能用一点处单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例2解单调区间为注意区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，但是上单调增加.例3解单调区间为例4试证明：当时，证作辅助函数因为在上连续，在内可导

2、，当时，又故当时，所以完且二、曲线的凹凸性与拐点如图，观察抛物线，它们在区间[0，1]上都是单调增加的，但弯曲的方向不一样。xoy11还需要考察曲线的弯曲方向及扭转弯曲方向的点。仅知道他们的单调性是不够的，这说明，在研究函数的图形时，定义1如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在此区间内是凸的，此区间成为凸区间；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在此区间内是凹的，此区间成为凹区间。xyo从图可看出，凹的曲线的切线斜率随x的增大而增大，单调增加，此时；从图可看出，凸的曲线的切线斜率随x的增大而减小，单调减小，此时因此，可以利用二阶导数的符

3、号来判定曲线的凸凹性。xyo二、曲线的凹凸性与拐点问题:如用数学语言描述曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有图形是凸的.则称定义.设函数在区间I上连续,观察与思考观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.定理2设函数在区间[a,b]内具有二阶导数，（1）如果在区间[a,b]内，则曲线在区间[a,b]内是凹的；（2）如果在区间[a,b]内，则曲线在区间[a,b]内是凸的；定义2连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点。注意（1）拐点是曲线上的点。（2）拐点既然是凹凸分界点，则在拐点左右邻近异号，因而在拐点处或

4、不存在。例5判定的凹凸性.解因为所以，题设函数在其定义域内是凹的.完例6判断曲线的凹凸性.解当时，曲线在为凸的；当时，曲线在为凹的；注意到点是曲线由凸变凹的分界点即拐点完曲线的拐点及其求法定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.拐点的求法:根据定义知,如果在点的左右两侧邻近处异号,则点就是曲线的一个拐点,如果进一步要求函数在区间内具有二阶连续导数,则在这样的点处必有此外,使函数的二阶导数不存在的点,也可能是使导数符号发生变化的分界点.综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的曲线的拐点及其求法综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的步骤为:(1)(2)并求出使不存在的点;(3)检

5、查其邻近左、右两侧二阶导数的符号,确定曲线的凹凸区间和拐点.完求函数的二阶导数解出全部实根,令对步骤(2)中求出的每一个点,凹的拐点凸的拐点凹的例7求曲线的拐点及凹、凸的区间.解易见函数的定义域为令得曲线的凹凸区间为完由所以,凸区间为拐点为例8求曲线的凹凸区间及拐点.解完在内恒不为零,但时,不存在.在处连续,且因此需要判断点是否为拐点.在左侧邻近处时,在4的右侧邻近处时,即在两侧异号,曲线的拐点.实际上,由曲线的图形可见,确实是曲线的拐点,只不过该点处的切线为沿垂方向的,故一阶导数、二阶导数都不存在.所以是例8求曲线的凹凸区间及拐点.解完在内恒不为零,但时,不存在.在处连续,且因此需

6、要判断点是否为拐点.在左侧邻近处时,在4的右侧邻近处时,即在两侧异号,曲线的拐点.实际上,由曲线的图形可见,确实是曲线的拐点,只不过该点处的切线为沿垂方向的,故一阶导数、二阶导数都不存在.所以是函数的极值设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)x1x2x3x4x5函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.三、函数的极值及其求法对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.函数的极值是函数的局部性质.函数的极值极值点本质

7、上就是单调区间的转换点，从增区间过渡到减区间，形成极大值；反之，从减区间过渡到增区间，形成极大值。几点说明（1）函数的极值是局域性的概念，最值是全域性概念对整个定义域而言。（2）函数在一个区间上的极值可能不唯一，且其中的极大值未必比极小值大。（3）函数的极值只能在区间内部取到。设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么f(x0)0.驻点使导数f(x)为零的点(方程f(x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.定理3(必要条件)思考:极值点