曲线拟合的最小二乘法计算方法

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1、§3.1拟合曲线通过观察或测量，得到一组离散数据1结束插值：找通过这些点的多项式。但对高次多项式，可能产生较大的误差，如Runge现象，使得高次多项式并不能接近原函数。拟合：不要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映原函数整体的变化趋势,从而得到比原函数更简单更适用的近似函数,这样的方法称为数据拟合第3章曲线拟合的最小二乘法结束数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法：设f(x)为原函数,(x)为近似函数,(xi,f(xi))(i=1,…,n)为数据点,要求选择(x)使当(x)选择为多项式时,称为多项式拟合.最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把

2、实验数据(离散的数据)归纳总结为经验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.2插值与拟合是构造近似函数的两种不同方法为最小.§3.2线性拟合和二次拟合函数1.线性拟合已知数据点为由求极值的方法得矩阵方程——拟合曲线的法方程组用直线作为近似曲线,均方误差为34由此可出求系数拟合直线为2.二次拟合函数已知数据点为用二次函数作为近似拟合曲线,均方误差为最小。由求极值的方法得法方程：由此可出求系数拟合曲线为56例1设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。解首先作平面散点图如下：xy123451234567891007从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑用二次多项式

3、进行拟合。8用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454,a1=-3.657,a2=0.272。最小二乘拟合多项式为：3非线性曲线转化为线性拟合:例3:已知数据为x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6求一个形如y=aebx的经验公式(a,b为常数).解:两边取对数得：910ixiyiYixi2xiYi0115.32.727912.72791220.53.020446.04082327.43.310599.93153436.63.60001614.40004549.13.89392519.46955665.64.183636

4、25.10166787.84.47514931.325778117.64.76736438.1384∑3629.9787204147.1354解该方程组的A=2.4368,b=0.2912由A=lna,即得a=eA=11.4369所以,经验公式为：y=11.4369e0.2912x11§3.3解矛盾方程组1.矛盾方程组已知数据点为作拟合直线若直线通过点(xi,yi),则否则此时统称为矛盾方程12矛盾方程组：（由点和拟合曲线构成的方程组）其矩阵形式为：1314为法方程。15即法方程。定理（1）AX=b的法方程恒有解；（2）x*为Ax=b的最小二乘解的充要条件为ATAx*=ATb.证明

5、(略)16一般形式为：矛盾方程组的矩阵形式为：简化为结束其法方程为：17由此求出拟合多项式的系数。例：给出一组数据，用最小二乘法求如下形式经验公式结束18解：解得：拟合曲线为：