曲线的凹向，渐近线及图像的描绘

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1、第三章导数的应用第四节曲线的凹凸性与拐点及函数图形的描绘在讨论函数图形的时候，仅仅知道函数的单调性是不够的，如图：学习要求能熟练地求出函数的水平渐近线和铅垂渐近线熟练掌握判断函数的凹向与拐点的方法了解函数图形描绘的步骤一、曲线凹向的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形位于任意点切线的下方图形位于任意点切线的上方定义1：如果在某区间内，曲线弧总位于其上任一点切线的上（下）方，则称曲线在该区间内是上（下）凹的。二、曲线凹向的判定定理1例1解注意到,三、曲线的拐点及其求法1、定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2、求拐点的步骤例2解上凹下凹上凹拐点拐点例3解四、渐

2、近线定义:1.铅垂渐近线例如有铅直渐近线两条:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:例4解二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.⑴确定函数的定义域和值域；⑵讨论函数的奇偶性（对称性）、周期性；⑶讨论函数的增减性和极值；⑷讨论函数的凹向与拐点；⑸确定曲线的渐近线；⑹求出曲线的一些特殊点（例如曲线与x轴、y轴的交点等）；⑺作出函数的图形。三、作图举例例5解非奇非偶函数,且无对称性.列表确定函数升降区间,凹向区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点作图例6解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点极大值极小值小结曲线的弯曲方向——凹向;改

3、变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.拐点的求法渐近线的求法铅垂渐近线、水平渐近线单减函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点上凹下凹单增思考题思考题解答例思考题思考题解答练习题作业书本P110习题3-41.1）2）还要判断单调性