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1、补充轮换对称性结论:若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则1证所以,例2习题课二重积分知识要点解题技巧典型例题3其中一、二重积分的概念与性质是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义二重积分I表示以D为底,柱体的体积.z=f(x,y)为曲顶,侧面是（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义定义1.平面上有界闭区域D上二元有界函数z=f(x,y)的二重积分2.当连续函数以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶一般情形,知识要点4物理意义3.xOy平面上方的曲顶柱体体积减xOy平面下方的曲顶柱体体积.若平面薄片占有平面内有界闭区域D,则它的质量M为:它的
2、面密度为连续函数5性质1(线性运算性质)为常数,则(重积分与定积分有类似的性质)性质2将区域D分为两个子域对积分区域的可加性质.（二）二重积分的性质6以1为高的性质3(几何应用)若为D的面积注既可看成是以D为底,柱体体积.又可看成是D的面积.特殊地性质4(比较性质)则(保序性)7几何意义以m为高和以M为高的性质5(估值性质)σ为D的面积,则则曲顶柱体的体积介于以D为底,两个平顶柱体体积之间.8性质6(二重积分中值定理)体体积等于以D为底几何意义域D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点使得则曲顶柱为高的平顶柱体体积.设f(x,y)在闭区9(1)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.若D关于
3、则x轴对称,f(x,y)对y为奇函数,即f(x,y)对y为偶函数,即则其中（三）对称区域上奇偶函数的积分性质10(2)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.若D关于则y轴对称,f(x,y)对x为奇函数,即f(x,y)对x为偶函数,即则其中11(3)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.12其中函数在区间[a,b]上连续.二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分(1)设f(x,y)在平面有界闭区域D上连续.先对y后对x的二次积分13其中函数在区间[c,d]上连续.(2)设f(x,y)在平面有界闭区域D上连续.先对x后对y的二次积分.14极坐标系中的面积元素三、在极坐标系中化二重积分为累次积分θ(1)
4、设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.其中函数15(2)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.其中函数16极坐标系下区域的面积θ(3)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.其中函数17再确定交换积分次1.交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2.如被积函数为圆环域时,或积分域为圆域、扇形域、则用极坐标计算;解题技巧183.注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函19解例计算积分交换积分次序.原式=典型例题1.交换积分
5、次序20计算解积分域是圆故关于x、y轴、故将被积函数分项积分:而极坐标又所以原式=对称,例直线2.利用对称性21证所围立体的体积等于是连续的正值函数,所求立体在xOy面上的投影区域为有:例证明:22解原式=用极坐标.对称性积分区域关于x轴对称例3.坐标系的选择23若函数f(x,y)在矩形区域D:解上连续,且求f(x,y).设两边积分,得例24计算二重积分D2极坐标例将D分成D1与D2两部分.D1其中解由于直角坐标3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分25其中因此26其中选择适当的坐标计算:解原式=例27其中选择适当的坐标计算:解原式=例28计算解积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为
6、偶函数.原式=记D1为D的y≥0的部分.则D1练习29练习证明证交换积分次序累次积分法一3031证明法二令则32
