重积分习题课ppt课件.ppt

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1、习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用第十章重积分的计算及应用1定义几何意义性质计算法应用二重积分定义几何意义性质计算法应用三重积分一、主要内容21、二重积分的定义3２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．4性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质5性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地6性质６性质７（二重积分中值定理）7４、二重积分的计算［X－型］X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相

2、交不多于两个交点.（１）直角坐标系下8Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］9（２）极坐标系下10115、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积12当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心13薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量(4)转动惯量14薄片对轴上单位质点的引力为引力常数(5)引力156、三重积分的定义167、三重积分的几何意义8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．179、三重积分的计算(１)直角坐标18(２)柱面坐标19(３)球面坐标201

3、0、三重积分的应用(１)重心21(２)转动惯量22二、典型例题例1解X-型23例2计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以24例3解先去掉绝对值符号，如图25例4解2627例5解28例6解2930例7证31例8解3233例9解利用球面坐标34例10解35例11证思路：从改变积分次序入手．36测验题3738394041424344测验题答案4546一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法

4、(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法47二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号4.利用重积分换元公式48例1.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.49(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得50例2.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标51例3.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把与D分成作辅助线52(

5、2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成53例4.如图所示交换下列二次积分的顺序:解:54例5.解:在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中55三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等2.物理方面3.其它方面56例6.证明证:左端=右端57例7.设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;(2)证明t>0时,(03考研)58解:(1)因为两边对t求导,得59(2)问题转化为证即证故有因此t>

6、0时,因60利用“先二后一”计算.例8.试计算椭球体的体积V.解法161*解法2利用三重积分换元法.令则62