材料力学应力和应变分析和强度理论修订版a

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1、第九章应力和应变分析和强度理论§9-1应力状态概念一一点的应力状态1一点的应力状态概念点的概念:指明是哪点的应力.面的概念:过一点哪个方向面上的的应力.一点的应力状态:一个点各个方向面上的应力情况.2一点的应力状态的表示方法(1)空间应力状态:9个分量6个独立.(2)平面应力状态:4个分量3个独立.(3)单向应力状态:1个分量.σxσyσzτxyτxzτyxτyzτzyτzx第九章应力和应变分析强度理论σxσyτxyτyx二主平面和主应力主平面:单元体上无剪应力作用的方向面.主应力:主平面上的正应力.约定σ1≧σ2≧σ3主方向:主

2、平面外法线方向.或平行于主应力的方向.三应力状态分类按主应力不为零个数划分为:简单应力状态:单向应力状态—1个主应力不为零.复杂应力状态:二向应力状态—2个主应力不为零.三向应力状态—3个主应力不为零.σ2σ3σ1§9-2二向和三向应力状态实例圆形薄壁容器(t<

3、dAcosαcosα+τyxdAsinαcosα-σydAsinαsinα=0ΣT=0ταdA-τxydAcosαcosα-σxdAcosαsinα+τyxdAsinαsinα+σydAsinαcosα=0τxy=τyxσxσyτxyτyxααdAdAsinαdAcosα2主平面和主应力直接判定法:把单元体对称分为四个象限,剪应力箭头所指交线象限内的主方位角对应的主应力为极大值,另一个为极小值.ττ´σcττ´σtττ´取主方位角α0和α0+π/2代入斜截面公式,求得主应力令主方位角和主应力的对应关系的判定方法—直接判定法3极大极

4、小剪应力及其所在平面4讨论(1)(2)(3)σ1，2+σ2，3=σx+σy=σα+σα+π/2取极大极小剪应力所在平面方位角α1和α1+π/2代入斜截面公式,求得极大极小剪应力和令§9.4二向应力状态分析—图解法1应力圆(莫尔圆)(3),(2)二式平方称为应力圆方程,也称为莫尔圆.其中σα,τα为变量.相加得(1)(2)(3)为圆心,半径的圆方程.2应力圆的画法确定x平面及其应力大小所在位置D按比例量取OA=σx,AD=τxy,确定D点.(2)确定y平面及其应力大小所在位置D´按比例量取OB=σy,BD´=τyx,确定D´点.(3

5、)确定圆心位置,画应力圆连接DD´交σ轴于C,以为CD半径画应力圆.σxσyτxyτyxστD(σxτxy)D´(σyτyx)CABOE(σατσ)F圆心座标半径σ1σ2τmax已知:σx=80MPa,σy=-40MPa,τxy=-60MPa,τyx=60MPa.求:(1)画出单元体;(2)主应力;(3)主方向.解:(1)画出单元体(2)解析法α0=22.50或者112.50,主单元体图示(3)图解法作应力圆图示量得σ1=105MPa,σ3=-65MPa,α0=22.50或者112.50στD´(-4060)COD(80-60)σ

6、1σ3σ1σ322.5˙112.5˙σxσyτxyτyx§9.5三向应力状态一应力圆方程xσ1σ2σ3yzpxpypztσ1σ2σ3yxzσnτnn设斜面法线n的三个方向余弦为l,m,n且l2+m2+n2=1(1)ΣX=0,pxdA-σ1ldA=0ΣY=0,pydA–σ2mdA=0ΣZ=0,pzdA–σ3ndA=0px=σ1lpy=σ2mpz=σ3n又有p=σn2+τn2σn=pxl+pym+pzn=σ1l2+σ2m2+σ3n2(2)τn2=p2-σn2=σ12l2+σ22m2σ32n2-σn2(3)σ2yσ1σ3xz总应力§9.

7、5三向应力状态一应力圆方程xσ1σ2σ3yzpxpypztσ1σ2σ3yxzσnτnnσ2yσ1σ3xz应力圆方程{二应力圆D(σατα)σσ1σ2σ30ττ12τ13τ231三个圆周交于一点,交点座标就是斜截面上的应力.2三个应力圆的区域(1)l2(σ1-σ2)(σ1-σ3)≧0第一个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(绿色).(2)m2(σ2-σ3)(σ2-σ1)≦0第二个应力圆方程半径小于和它同心的圆周(黄色).(3)n2(σ3-σ1)(σ3-σ2)≧0第三个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(粉红色).三个圆周围成的区域中任一

8、点D表示任意斜截面上的应力.3最大最小正应力σmax=σ1σmin=σ34主剪应力§9.6平面应变状态分析一平面应变状态分析ααyxx´y´在xoy座标下应变为εxεyγxy旋转α角度在x´oy´座标下应变为εα,§9.6平面应变状态分析一平面应变