资源描述：
《《阶微分方程的应用》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.8一阶微分方程的应用应用微分方程去解决一些实际问题应用介绍：应用大意应用一：曲线族的等角轨线应用二：雨滴的下落应用三：人口增长模型应用四：静脉注射给药应用五：水流问题1：应用大意适应范围与变化率有关的各种实际问题应用三步曲(1)建立模型Modelling(2)模型求解Solving(3)模型应用Application建议:模型要详略得当应用一：曲线族的等角轨线设给定一个平面上以C为参数的曲线族（*）我们设法求出另一个以k为参数的曲线族（**）使得曲线族（**）中的任一条曲线与曲线族样的曲线族（**）是已
2、知曲线族（*）的（*）中的每一条曲线相交时成定角则称这等角轨线族。当时，称曲线族（**）是（*）的正交轨线族。例如：曲线族是曲线族的正交轨线族。设y=y(x)为(C’)中任一条曲线，于是存在相应的C，使得因为要求x,y,y’的关系，将上式对x求导数，得(1.84)这样，将上两式联立，即由上述关系式成为曲线族满足的微分方程例1求抛物线族的正交轨线族。解：对方程两边关于x求导得由解出C代入上式得曲线族在点处切线斜率为由于所求曲线族的曲线与中的曲线在正交，故满足方程这是一个变量可分离方程求解得的正交曲线族为这是一
3、个椭圆，如右图放大此图图2.16应用二：雨滴的下落考虑雨滴在高空形成后下落的过程中速度的变化三种不同的假设(1)自由落体运动(2)小阻力的情况(3)大阻力的情况(1)自由落体运动下落过程中没有任何阻力小阻力的情况下落过程中阻力与速度和半径的乘积成比例(3)大阻力的情况下落过程中阻力与速度和半径的乘积平方成比例三、药物设计医生给病人开处方是必须注意两点：服药的剂量和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生严重不良后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗的效果。一次给药的药时曲线血药浓度mg/l时间残留期持续期
4、药峰时间潜伏期药峰浓度最低中毒浓度最低有效浓度安全范围转化排泄过程多次给药的药时曲线011223456血药浓度时间CmaxCmin治疗窗口药物消除类型1一级动力学消除（恒比消除）：单位时间内按血药浓度的恒比进行消除。消除速度与血药浓度成正比。若以血药浓度（C）的对数与时间（t）作图，为一直线。零级动力学消除（恒量消除）：单位时间内始终以一个恒定的数量进行消除。消除速度与血药浓度无关。是指包括零级和一级动力学消除在内的混合型消除方式。如当药物剂量急剧增加或患者有某些疾病，血浓达饱和时，消除方式则可从一级动力学
5、消除转变为零级动力学消除。如乙醇血浓<0.05mg/ml时，按一级动力学消除；但当>0.05mg/ml时，则可转成按零级动力学消除。3．米氏消除动力学（混合型消除）：模型及其数值实现阅读材料:服药问题医生给病人开处方时必须注明两点:服药的剂量和服药的时间间隔.超剂量的药品会对身体产生严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治病的目的.已知患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低.药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比.当服药量为A、服药间隔为T,试
6、分析体内药的浓度随时间的变化规律.体内药的浓度随时间的变化规律Model3:PopulationdynamicsInthissectionweexamineequationsoftheformy'=f(y),calledautonomousequations,wheretheindependentvariabletdoesnotappearexplicitly.Themainpurposeofthissectionistolearnhowgeometricmethodscanbeusedtoobtainqu
7、alitativeinformationdirectlyfromdifferentialequationwithoutsolvingit.Simplestmodel:populationgrowthrateisproportionaltocurrentsizeofthepopulation:Solution:exponentialgrowth):Model3:PopulationdynamicsLogisticGrowthAnexponentialmodely'=ry,withsolutiony=e^{rt
8、},predictsunlimitedgrowth,withrater>0independentofpopulation.Assuminginsteadthatgrowthratedependsonpopulationsize,replacerbyafunctionh(y)toobtainy'=h(y)y.Wewanttochoosegrowthrateh(y)sothath(y)≅rwhenyissmall,h
