《阶微分方程的求解》PPT课件

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1、电路暂态分析的目的是为了得到电路的时域响应。建立动态电路的状态方程，得到一阶微分方程组（或一阶微分方程），再求该方程组的解。因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。3.3一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下，求微分方程的初值问题基本思想：在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点、…处的函数近似值、…当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商取代一阶导数一.前向欧拉法令步长，则其近似值为：近似解的误差首先是由差商近似代替微商

2、引起的，这种近似代替所产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差是由于计算时数值舍入引起的。前向欧拉法的几何意义：在任一步长内，用一段直线代替函数的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长起点的斜率。欧拉法的几何意义：过点A0（t0，y0），A1（t1，y1），…，An（tn，yn），斜率分别为f（t0，y0），f（t1，y1），…，f（tn，yn）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。例1.应用前向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法又有：【思路】用欧拉法求解常微分方程的初值问

3、题时，首先熟练掌握欧拉公式的一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。微分方程是一阶线性微分方程，可求出其通解：则方程的解为：从而有：带入初值可得一阶非齐次线性微分方程计算结果列表（为前向欧拉法计算近似值，为精确值）n01.000011.10.2718281830.3459198760.07401969321.20.6847555780.8666425360.18188695831.31.2769783441.6072150790.33023673541.42.0935476882.620

4、3595520.52681186451.53.1874451223.9676662950.78022117361.64.6208178465.7209615271.10014368171.76.4663963787.9638734791.497477101正分析：当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不是很高。步长取定后，步数越多，误差越大。二、后向欧拉法用一阶差商近似代替在一个步长终点的一阶导数，则原微分方程化为：对于给定初始条件的微分方程其近似值：在任一步长内，用一段直线代替函数的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长终点的斜率。后向欧拉

5、法的几何意义：精确值近似值注：后向欧拉法的两种处理方式①前向Euler法为显式，后向Euler法为隐式——须解出yk+1.②可用迭代法yk+1(n+1)=yk+hf(tk+1，yk+1(n))n=0，1，2，…解得yk+1，其中yk+1(0)=yk+hf(tk，yk).（结合前向欧拉法，预报）例2.应用后向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据后向欧拉法又计算结果列表（为后向欧拉法计算近似值，为精确值）n01.000011.10.4442827750.345919876-0.09836289921.21.106

6、8555350.866642536-0.24021299931.32.0409606121.607215079-0.43374553341.43.3084097732.620359552-0.68805022151.54.9809113233.967666295-1.01324502861.67.1415858565.720961527-1.42062432971.79.8866975397.963873479-1.922824060负三.梯形法及其预估-矫正法用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的一阶导数的平均值梯形公式（欧拉中

7、点公式）近似值：改进欧拉法显然，梯形公式是隐式法，一般求需要解方程，常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：然后将替代梯形公式等式右边出现的当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好的近似，则迭代一、二次即可预报校正迭代次数几何意义Euler法折线法改进Euler法平均斜率折线法例3.应用梯形预估-矫正法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法梯形预估-矫正计算结果列表（为梯形预估-矫正法计算近似值，为精确值）k01.000011.10.3423777890.3459198760.003542087

8、21.20.8583145370.8666425360.00832799931.31.5927496431.6072150790.01446543641.42.5982982392.62035