例谈向量法解立体几何三大歪招

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1、例谈向量法解立体几何的三大“歪招”浙江省象山县第二中学吕增锋315731摘要：由于得天独厚的优势，向量法已经成为了当前解决立体几何问题的主流方法，备受到师生的推崇。但不可忽视的是引入向量法后，也出现了一些弊端。产生这些弊端的原因是什么，该如何解决？笔者秉着“歪打正着”的理念，借助三个具有贬义性质的成语，结合具体的实例，阐述向量法解立体几何的教学三大“歪招”。关键字：向量法综合法众所周知，传统的综合法在立体几何中应用体现的是一种思维链间的严密整合，优点是自然、流畅、高效，缺点是需要花时间去理解解决问题的理论基础，因此门槛较高；向量法体现的是一种“数字化

2、”概念，优点是所有问题可以量化、公式化，通过计算解决，入门容易，缺点是运算烦琐，一步错，全盘输。作为解决立体几何问题的两个视角，两种方法，尽管它们各有千秋，但由于向量法的低门槛，操作机械，显然更容易被学生接受，并且从现代数学的发展来看，综合法让位于向量法也是大势所趋。吴文俊先生就曾指出：“对于研究空间形式，你要真正的腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法。当然欧几里得几何里漂亮的定理有的是，漂亮的证明有的是，可是就算你陷在里面，你也跑不了多远……”1，可见计算在立体几何中的重要性，而向量法正好满足了立体几何的计算要求，因此，向量法顺理成章地成为解

3、决立体几何问题的主流方法，深受师生的推崇。不可否认，向量法虽好，若教学不当也会出现一些副作用。例如，引入向量法后，部分学生不能摆脱综合法思维的束缚，对向量法的核心思想却迟迟无法领悟；更有相当数量的学生唯向量法是用，传统的综合法被抛弃殆尽，即使最基本的平行、垂直关系的证明也依赖于向量法；还有学生拿到题目只会“建系——求坐标——运算”，解题思路僵化，不会灵活变通……。如何减少或者避免这些副作用的产生呢？这就涉及到向量法的教学策略问题。有句话叫“歪打正着”，下面笔者就借助三个贬义的成语，谈谈向量法教学的三大“歪招”。1“歪招”一：朝三暮四“朝三暮四，源于庄

4、周《庄子·齐物论》原指玩弄手法欺骗人。后用来比喻常常变卦，反复无常。”我们知道，新课改后高中阶段立体几何内容其实是被分成了两部分，分别在两个阶段进行教学。以人教A版为例，立体几何的第一部分被安排在必修2的第一章“空间几何体”和第二章“点、直线、平面之间的位置关系”，一般是在高一进行教学，主要向学生传授立体几何的传统方法，即综合法；第二部分被安排在选修2—1的第三章“空间向量与立体几何”，一般是在高二进行教学，才是详细介绍向量法在立体几何中的应用。很多教师一进入第二阶段就迫不及待的把综合法“打入冷宫”，从此“独宠”向量法。他们的理由当然很充足——向量法

5、“功能强大”有利于应试。殊不知如此做法是有违教学规律的，是一种短视行为。首先，学生从综合法学习的结束到向量法学习的开始至少应该有一个自然适应的过程，让学生明白为什么要引入向量法；至少应该有一个比较分析的过程，向量法有什么优点可以取代综合法。其次，这两种方法尽管分析问题的视角不同，但还是存在着内在的联系。比如，向量法中的建系、求点的坐标就离不开综合法的帮助，并且综合法功底的强弱可以直接影响向量法的运用和发挥。因此，我们不能人为的把两种方法进行了“种族隔离”，至少在进入第二阶段的初期，要“宠爱”向量法，但不能“冷落”了综合法，要做到“朝三暮四”。图1案例

6、1：（2013辽宁理）如图1，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。（I）求证：平面平面；（II）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角的余弦值。解析：类似本题第1问平行、垂直关系的证明问题还是应该坚守综合法。因为一旦进入向量法后，学生就会少了很多训练空间想象能力和逻辑推理能力的机会，恰当地应用综合法在一定程度上可以减缓这两种能力的过度退化；类似本题第2问空间角比较容易作出的题目，尽量做到综合法和向量法兼顾。可以先用综合法解决，然后再尝试用向量法。通过一题多解的形式，让学生经历比较、判断、决策的思维过程，使学生逐步了解向量法的特点

7、和优势，从而自然而然的进入向量法的广阔天地。2“歪招”二：避重就轻“避重就轻，源自宋·刘挚《侍御史黄君墓志铭》，指回避重的责任，只拣轻的来承担。也指回避要点，只谈无关紧要的事情。”“建系——求坐标——运算”是向量法解立体几何问题的基本操作流程，这种方法被通常被称为坐标法。如果说向量法是解立体几何问题的“主流”方法，那么坐标法称得上是“主流中的主流”。纵观各地高考立体几何的标准解答，也基本上是坐标法的天下。正因为坐标法举足轻重的地位和作用，很多教师在向量法的教学中也是唯坐标法是教，唯坐标法是用，而对于向量法中的其它方法却视而不见。但是坐标法并不是万能的

8、，倘若遇到不易建系的几何体，恐怕就要“失灵”了；运算繁琐，容易出错也是坐标法天生的缺陷。因此，不能让学生在坐