梁的变形分析与刚度问题

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1、第8章梁的变形分析与刚度问题1.弯曲变形的描述Fxwx挠曲线（轴）w(x)(x)(x)弯曲使梁的任意x截面产生弯曲位移：（1）截面形心的铅垂位移——挠度w(x)(向上为正)（2）截面绕中性轴转过的角度——转角(x)(为正)Fxwx挠曲线（轴）w(x)(x)(x)挠度方程w=w(x)(13.9)转角方程=(x)(13.10)由平面假设，小变形时得：(13.11)挠度转角关系2.挠曲线近似微分方程由变形几何关系：平面曲线w=w(x)的曲率为小变形简化：符号的选择：与w轴及M的符号规定有关——取+号挠曲线近似微分方程(13.12)（若梁的M(x)

2、分段表示，上式也应分段表示）M>0计算梁的位移的积分法挠曲线近似微分方程(13.12)对上式积分一次，得转角方程：(13.13)再积分一次，得挠度方程：(13.14)其中，C，D为积分常数对分段的M(x),每段有2个常数，—若分n段，有2n个常数。积分常数的确定：对静定梁——支座处有2个位移约束条件若梁的M(x)方程分为n段表示——共有n-1个分段点共有2n个积分常数确定2n个积分常数的条件（定解条件）：支座处的约束条件（2个）分段点处的挠度、转角连续条件（2(n-1)个）共2n个条件常见的支座约束条件：（2）固支端（）（1）铰支座（）xwl例如：xwl例

3、如：（3）弹簧铰支座（弹簧系数k）例如：xwFllBAFT常见的分段点连续条件：（1）连续的挠曲轴上的分段点连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。第i个分段点处：挠度连续xiixwi(x)wi+1(x)Mi(x)Mi+1(x)转角连续(2)中间铰处仅挠度连续，转角不连续B点挠度连续BACw1(x)w2(x)ll例题13-5例题指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。aaaxwFq(1)解：此梁应分为3段积分，共6个常数。w1(x)w2(x)w3(x)定解条件：例题13-5例题w1(x)w2(x)解：此梁应分为2段积分，共4个常数。定解条件：

4、xwlaq(2)弹簧系数为kqql/2ql/2例题13-6例题求图示梁的和解：AC段：CB段：1.列内力方程应分为2段列内力方程：例题13-6例题2.分段积分:AC：CB：AC:CB：w1(x)w2(x)例题13-6例题3.定解条件：解得常数为：w1(x)w2(x)例题13-6例题B设a>b4.求最大转角：例题13-6例题B5.求最大挠度：fmax设a>b，应在AC段出现，令得：f中与fmax相差由于内力是载荷的线性函数。称为叠加原理位移计算中的叠加原理1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）因此同理，结构中的位移（如）也是载荷的线性函数

5、，故也有2.弯曲位移计算的载荷叠加法利用基本变形表13.2求图示梁的例题13-7例题求例题13-8例题求例题13-9例题求解：3.求结构位移的变形叠加法——分段刚化法例题13-9例题先用载荷叠加法：（1）（2）对情况（1）：梁的BC段无变形。对情况（2）：应用分段刚化法。1(a)AB段刚化,BC段变形例题13-9例题AB(b)BC段刚化，AB段变形ABCCABCFaB2例题13-10例题ABCDlllEIEAwxF求图示结构C点的挠度。解：1.BD刚化，AB变形ABCllEIwxFB点相当于简支座：wC12.AB刚化，BD变形例题13-10

6、例题ABCDlllEIEAwxFwB22.AB刚化，BD变形wC2BD杆轴向拉伸：（负号表示）已知梁的直径d及求解：（1）AB刚化BC变形例题13-11例题（）xyz(C截面绕x轴转过的角度）（2）BC刚化AB变形例题13-11例题xyz对圆截面杆：F使AB段弯曲M使AB段扭转C截面绕y轴转过的角度：例题13-11例题xyz（）例题13-12例题hbl一弯曲钢梁，截面为矩形，两端各加力F，使其平直地与刚性平面MN接触，已知梁的E，l，b，h，及，求：（1）F力多大可将梁压平？（2）压平时梁中的最大正应力。FF例题13-12例题hbl解：曲

7、梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。压平后与刚平面接触——地面对梁有均布支持力q。qFF由平衡条件得：FF例题13-12例题hblqFFFF均布载荷简支梁的弯曲挠曲线为：若曲梁变形前的弯曲形状恰好为此形状，则F力刚好可使该曲梁压平。压平时，例题13-12例题hblqFFFF4.画出挠曲线的大致形状(1)满足支座约束条件(2)挠曲线的凹凸性(3)处为挠曲线的拐点挠曲线的大致形状可根据支座及弯矩图判断。例如：（M）A=0B=0提高弯曲强度和刚度的措施（1）合理安排梁的受力1.提高梁的强度的措施分散载荷支座位置(2)梁的合理截面放置方向截面形状(

8、3)等强度梁使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同汽车上使用的叠